高中数学竞赛辅导讲义第十三章 排列组合与概率.pdf

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第 1 类办法中有m 种不同的 1 方法，在第2 类办法中有m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有 2 m 种不同的方法，那么完成这件事一共有 N=m +m +…+m 种不同的方 n 1 2 n 法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第 1 步有m 种不 1 同的方法，第2 步有m 种不同的方法，……，第n 步有m 种不同的 2 n 方法，那么完成这件事共有N=m ×m ×…×m 种不同的方法。 1 2 n 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照 一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列， 从n 个不同元素中取出m 个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个 不同元素中取出 m 个元素的排列数，用A m 表示，A m =n(n-1)… n n n! (n-m+1)= ,其中m,n ∈N,m≤n, (n - m)! 注：一般地A 0 =1，0 ！=1，A n =n!。 n n A n 4．N 个不同元素的圆周排列数为 n =(n-1)!。 n 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元 素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从 n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个 不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的组合数，用Cm 表示： n m n(n - 1) L(n - m + 1) n! C = = . n m! m!(n - m)! 6．组合数的基本性质：（1）Cm = Cn-m ；（2）Cm = Cm + Cn-1 ；（3） n n n-1 n n n n Ck -1 = Ck ；（ 4 ） C0 + C1 + L+ Cn = Â Ck = 2n ；（ 5 ） n-1 n n n n n k k =0 k k k k +1 k m n-k C +