概率与数理统计2-3.ppt

第二章 第三节 方 差 随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这就是方差. 如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 又如: X,Y的分布列分别为 1/3 1/3 1/3 P -1 0 1 X 1/3 1/3 1/3 P -10 0 10 Y 易见, X、Y的期望都是0, 但Y的取值要比X 的取值波动大得多. 一、方差的定义 注1:采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 定义 设X是一个随机变量，若EX2 ∞， 则称 Var(X)=E[X-E(X)]2 为X 的方差. 注2: 称 为X的标准差,记为 . ( 由于标准差与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用. ) Var(X)≥0, σ(X)≥0 注3: 计算方差的简化公式 Var(X)=E(X 2)-[E(X)]2 注4: 若Var(X)存在, 则E(X)必存在. 反之不真. 若方差Var(X)=0, 则r.v. X 以概率1取常数值 .(再证) 注5: 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大 . 注6: 由定义知，方差是随机变量X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为离散型， P{X=xk}=pk,k=1,2,… X为连续型， X~p(x) 例1 比较下面的三角分布、均匀分布、倒三角分布的均值与方差. (P85) -1 1 -1 1 -1 1 例2 某人有一笔资金可投入两个项目: 房产和商业, 其收益与市场状态有关. 若把未来分为好、中、差三个等级, 其发生的概率分别为0.2, 0.7, 0.1 . 通过调查此人认为投资于房产的收益X(万元)与投资于商业的收益Y(万元)的分布分别如下, 问此人如何投资为好? 0.2 0.7 0.1 P 11 3 -3 X 0.2 0.7 0.1 P 6 4 -1 Y 二、方差的性质 1. 设C是常数, 则 Var(C) = 0; 2. 若k是常数, 则 Var(kX) = k2 Var(X); 3. 若k、b是常数, 则 特别地， 例3 设随机变量X的期望和方差为E(X)和Var(X),且Var(X)0,求: 解: