2016年高考数学重难点专题复习：离心率.doc

专题二：圆锥曲线离心率问题 类型一：求离心率的值:利用几何关系求出，求解短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。 2、椭圆＋＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______________． 【解析】依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝＝. 【答案】 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，。 4、双曲线与抛物线相交于A、B两点，直线AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（ ） 5、已知F1，F2椭圆＋＝1(ab0)左、右焦点F2与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆的离心率为 6、（2013·湖南高考理）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cosPF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos 30°，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故双曲线C的离心率为. 【答案】 与双曲线的两条渐近线分别交于点A、B，若点满足，则该双曲线的离心率是______________. 【解题指南】求出的坐标，写出中点的坐标，因为，所以与已知直线垂直，寻找与的关系. 【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为与，分别与联立方程组，解得，，设的中点为，则，因为，所以与已知直线垂直，所以，解得，即，答案： 类型二：求离心率的取值范围：寻找特殊图形中的不等关系 1、设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法2：利用定义基本不等式 由椭圆定义，有 平方后得 解法3：巧用图形的几何特性 由，知点P在以为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有 2、已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3、直线L是双曲线过一、三象限的渐近线，F是右焦点，过F作直线L的垂线，垂足为M，若直线FM与双曲线的两支各有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围为 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) A.，2 B.，2C.，＋∞ D. ，＋∞ 【解析】选A　本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k0)必须满足k≤，易知k＝，所以2≤3，1＋2≤4，即有 ≤2.又双曲线的离心率为e＝＝ ，所以e≤2. 分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点使得两直线斜率，则双曲线的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 【五年高考题】 1、【2013课标全国，理4已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)． A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝±x[来源:学|科|网] 答案：C 设F1，F2是椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A． B． C． D．C　设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　) A． B． C． 2 D． 3； 【练习】 5、如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左