32.巧换元妙构函数.探究指对不等式.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 巧换元妙构函数.探究指对不等式 探究二元指对函数不等式的换元方法 含有指数函数y=ex与对数函数y=lnx的二元不等式问题是高考中热得不能再热的热点问题;对有关函数式进行等价变形,运用整体思想引入新的变元,把握变量间的本质关系,可促使问题解决. [母题结构]:探究解决含有ex或lnx的二元不等式问题的引入变元策略. [母题解析]:针对不同情况引入变元的策略有:①如果关于变元a,b的不等式中含有ex,可作差引入新的变元t=b-a,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式,然后构造关于t的函数解决问题;②如果关于变元a,b的不等式中含有lnx,可作商引入新的变元t=,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式,然后构造关于t的函数解决问题;③如果关于变元a,b的不等式中含有参数m,且对m的每一个取值,变元a,b在其取值范围内都有唯一的一个值,那么, a,b都是m的函数,确定参数m为变元,通过研究隐藏函数a=f(m)和b=f(m)解决问题. 1.指数函数,作差换元 子题类型Ⅰ:(2013年陕西高考理科试题)已知函数f(x)ex,x∈R. (Ⅰ)若直线ykx+1与f(x)的反函数的图像相切求实数k的值设x0,讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数设ab,比较与的大小并说明理由Ⅰ)由f(x)的反函数为g(x)lnx,设直线ykx+1与g(x)lnx的图像在P(x0y0)处相切则有y0kx0+1=lnx0,k= (x0)=x0=e2,k=; (Ⅱ)曲线yex与ymx2的公共点个数等于曲线与ym的公共点个数,则(x-2)h(x)在(0,2)上递减在(2∞)上递增(x)=h(2)=,所以,当0m时曲线与ym无公共点曲线yf(x)与ymx2没有公共点当时曲线与ym恰有一个公共点曲线yf(x)与ymx2有一个公共点当时曲线与ym恰有两个公共点曲线yf(x)与ymx2有两个公共点-=-=(-)=(-1+)=(-1+ );令x=b-a0,(x)=+-1,则-=0(x)(0)=01- ; [点评]:对含有ex,且关于变元a,b的不等式,作差引入新的变元t=b-a时,应注意利用指数运算法则,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式. 2.对数函数,作商换元 子题类型Ⅱ:(2004年全国Ⅱ高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值; (Ⅱ)设0ab,证明:0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2. [解析]:(Ⅰ)由(x)=-1=(x-1)f(x)的最大值=f(0)=0; (Ⅱ)令t=1,则0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln20alna+atln(at)-2aln(a)a(t-1)ln20(1+t)ln2- (1+t)ln(1+t)+tlnt(t-1)ln2;令h(t)=(1+t)ln2-(1+t)ln(1+t)+tlnt,则(t)=ln2-ln(1+t)-1+lnt+1=ln(由t1 1ln0)0h(t)h(1)=0;又(1+t)ln2-(1+t)ln(1+t)+tlnt(t-1)ln2(1+t) ln(1+t)-tlnt2ln2;令H(t)= (1+t)ln(1+t)-tlnt,则(t)=ln(1+t)-lnt0H(t)H(1)=2ln2. [点评]:对含有lnx,且关于变元a,b的不等式,作商引入新的变元t=时,应注意利用对数运算法则,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式. 3.隐藏函数,互逆换元 子题类型Ⅲ:(2014年天津高考试题)已知函数 (Ⅰ)求证明随着a的减小而增大; (Ⅲ)证明:x1+x2随着a的减小而增大. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=0x-aex=0(a≠0,x≠0)=;令g(x)=(x≠0),则当x0时, g(x)0,当x0时,g(x)0,且(x)=(x-1)g(x)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增,g(x)的极小值=g(1)=e,g(x)的图像如图,所以,函数y=f(x)有两个零点 g(x)的极小值e0ae-1,故a的取值范围是(0,e-1); (Ⅱ)由(Ⅰ)知,0x11x2;①由g(x)在(0,1)上单调递减和=当a∈(0,e-1)时,存在唯一的x1∈(0,1),故可视x1为a的函数=增大x1减小;②由g(x)在(1,+∞)上单调递增和=当a∈(0,e-1)时,存在唯一的x2∈(1,+∞),故可视x2为a的函数=增大x2增大随着a的减小而增大; (Ⅲ)由=,===e;由随着a的减小而增大e随着a的减小而增大x2-x1随着a的减小而增大x1+x2=(x2-x1)+2x1随着a的减小而增大. [点