一阶微分方程解的唯一性注记.docx

第１７卷第３期２０１４年５月高等数学研究ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１７，Ｎｏ．３Ｍａｙ，２０１４ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１４．０３．０１０一阶微分方程解的唯一性注记陈玉（江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３３００２２）摘要结合反例，分析学生在证明有关一阶微分方程解的唯一性问题时的常见错误，给出三种正确证明，并总结各证明方法的适用范围．关键词一阶微分方程；解的唯一性；最大值中图分类号Ｏ１７５．１文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１４）０３－００３１－０４ＵｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＦｉｒｓｔＯｒｄｅｒＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎＣＨＥＮ Ｙｕ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ，ＪｉａｎｇｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ３３００２２，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅｃｏｍｍｏｎｅｒｒｏｒｓｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｒｅａｎａｌｙｚｅｄｗｉｔｈｃｏｕｎｔｅｒｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｔｈｒｅｅｃｏｒｒｅｃｔｐｒｏｏｆｓａｒｅｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ，ａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｓｅｐｒｏｏｆｓｉｓｎｏｔｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍＰｉｃａｒｄ解的存在唯一性定理是常微分方程的重要内容，对其唯一性，教材［１］是运用一致收敛函数列极限的唯一性来加以证明的（见以下引理１）．这一证明方法的适用性受到一定的条件限制 ，学生往存在唯一的解ｄｙ ＝ｆ（ｘ，ｙ） ｄｘｙ＝φ（ｘ）往忽略了这一点而盲目运用，导致不应有的错误．本文将以教材［１］中课后习题８为例，对学生证明一阶微分方程解的唯一性问题时的常犯错误加以理论分析，并给出反例．同时给出另外三种正确证明，并就定义于区间｜ｘ－ｘ０｜≤ｈ 上，连续且满足初值条件φ（ｘ０）＝ｙ０，其中ｈ ＝ ｍｉｎ｛ａ，ｂ｝， Ｍ ＝ ｍａｘ｜ｆ（ｘ，ｙ）｜．Ｍ（ｘ，ｙ）∈Ｒ一阶微分方程解的唯一性问题的四种证明方法的适用性进行比较．１传统证明方法为后面叙述的方便，先给出教材［１］中Ｐｉｃａｒｄ解的存在唯一性定理及其唯一性命题及证明．Ｐｉｃａｒｄ解的存在唯一性定理如果ｆ（ｘ，ｙ）在矩形域教材［１］对其唯一性的证明仅就区间ｘ０≤ｘ≤ｘ０＋ｈ讨论，对于ｘ０－ｈ≤ｘ≤ｘ０的情形可类似进行讨论．见如下引理．引理１［１］已知φ（ｘ）是积分方程ｘｙ＝ｙ０＋∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ（１）０ｘ定义于［ｘ０，ｘ０＋ｈ］的连续解，设ψ（ｘ）是方程（１）定 义于［ｘ０，ｘ０＋ｈ］上的另一个连续解，则Ｒ： ｜ｘ－ｘ０｜≤ａ，｜ｙ－ｙ０｜≤ｂφ（ｘ）＝ψ（ｘ）（ｘ０≤ｘ≤ｘ０＋ｈ）．上连续且关于ｙ满足利普希茨条件，则方程收稿日期：２０１３－０９－１２；修改日期：２０１４－０３－３１证明根据φｎ（ｘ）＝ｙ０＋φ（ｘ０）＝ｙ０，ｘｆ（ξ，φｎ－１（ξ））ｄξ（ｎ≥１），基金项目：国家自然科学基金；江西省高等学校教学改革研究课题（ＪＸＪＧ－１２－２－１７）∫ｘ０∫（ｘ）＝ｙ ＋ｘｆ（ξ，ψ（ξ）），作者简介：陈玉（１９７３－），女，浙江东阳人，硕士，讲师，从事复分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｃｈｅｎｙｕｇｙｉ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍψ０ｄξｘ０可以估计３２高 等 数 学 研 究２０１４年５月［１］如果函数（ｘ，ｙ）于带域ｘ上｜φ０（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤例１ｆα≤≤βｘ∫ｘ０｜ｆ（ξ，ψ（ξ））｜ｄξ≤Ｍ（ｘ－ｘ０），连续且关于ｙ满足利普希茨条件，则方程ｄｙ（ｘ，）｜φ１（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤ｘ｜ｆ（ξ，φ０（ξ））－ｆ（ξ，ψ（ξ））｜ｄξ≤满足条件ｄｘ ＝ｆｙ∫ｘ０ｘ（ξ）（）ｙ（ｘ０）＝ｙ０的解于整个区间［α，］上存在且唯一．０Ｌ∫ｘ｜φ０ｘ（ξ）－ψξ｜ｄξ≤ＭＬ（）２β学生在证明这一习题结论中解的唯一性时，易犯以下两个错误．０ＭＬ∫ｘ现设－ｘ０ｄξ＝２！ｘ－ｘ０．错证１直接将引理１的证明过程中的 Ｍ改为ＭＬｎ－１｜φｎ－１（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤ｘ－ｘ０｜ｆ（ｘ，ｙ）｜在带域α≤ｘ≤β上的最大值ｎ！（）ｎ，Ｍ ＝ ｍａｘ｜ｆ（ｘ，ｙ）｜，（ｘ，ｙ）Ｄ∈则有其中ｘ∫ｘ０｜φｎ（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤｜ｆ（ξ，φｎ－１（ξ））－ｆ（ξ，ψ（ξ））｜ｄξ≤ｘＤ＝｛（ｘ，ｙ）：α≤ｘ≤β，－∞＜ｙ＜＋∞｝，区间ｘ０