第十一章 虚位移法.ppt

§11-1 约束及约束方程 【例11-12】图示平面机构中，不计构件自重与摩擦。OB杆长为4l，系统在图示位置平衡，此时滑块A位于OB杆正中，求主动力偶矩m与主动力F间的关系。 45o 45o α vC 2-1)以FBy代替支座B的铅垂约束，并视其为主动力，将结构变为机构。 2-2)求虚速度间的关系 P C B A a m a a D 2-3)列虚功方程并求解 vBy vD ω FBy 由(1)—(4) 得： * § 11-1　约束及约束方程 § 11-2　自由度 广义坐标 § 11-3　虚位移 § 11-4　虚位移法及其应用 第十一章 虚位移法 一、相关概念 约束：当质点或质点系中的某些质点运动时，受到某些事先给定的几何上或运动学上的限制条件，这些限制条件称为质点或质点系的约束。 【例11-1】圆盘C在粗糙平面上作纯滚动。 约束是指事先给定的限制条件，它与作用力、起始条件以及运动的其他条件无关。 yC = R表示圆盘C受到几何上的限制， vC = R?表示圆盘C受到运动学上的限制。　 C R vC yC ω 非自由质点系：受约束的质点系为非自由质点系。 约束方程：约束加于质点或质点系的限制条件，可以用几何学和运动学知识写成具体的数学表达式 ，该表达式称为约束方程。 【例11-2】 求曲柄连杆机构的约束方程。 xA2 + yA2 = r2 (xB – xA)2 + (yB – yA)2 = l 2 yB = 0 自由质点系：不受任何约束的质点系为自由质系，它可以在主动力作用下作空间任意运动。 y O A(xA,yA) B(xB, yB) r x l ? 图示复摆摆锤M的约束方程为 x2+y2 = l 2 双面约束用严格的等号表示约束方程。这种约束如能限制物体向某一方向运动，则必能限制向相反方向运动。 单面约束用不等号表示约束方程。这种约束只能限制物体某个方向的运动，不能限制相反方向的运动。 图示单摆摆锤M的约束方程为 x2+y2 ≤ l 2 1. 双面约束与单面约束 二、约束的分类 y x O M(x,y) l ? y x O M(x,y) l ? -vt v 如果约束方程中仅包含坐标，或坐标与时间，或包含坐标对时间的导数但能积分成有限形式 ，称这种约束为完整约束。如上面所举各例。 完整约束方程的一般形式为： ?j (x1,y1,z1,…, xi,yi,zi,…, xn,yn,zn; t)=0 (j =1,2,…,s) 如果在约束方程中不显含时间t ，即约束不随时间而改变 ，称该约束为定常约束。如上面所举二例。 图示单摆的约束方程为：x2 + y2 = (l- vt)2 如果在约束方程中显含时间t ，即约束随时间而改变 ，称该约束为非定常约束。 3. 完整约束与非完整约束 2. 定常约束与非定常约束 y x O M(x,y) l ? 如果约束方程中不仅含有坐标， 还含有坐标对时间的导数且这种方程不能积分成有限形式，称这种约束为非完整约束。其一般形式为： 完整约束方程中仅含坐标 ，它表现为对质点系的几何位置起限制作用 ，故这种约束又称为几何约束。 非完整约束方程中包含有速度的投影 ，它仅表现为对质点速度所加的限制 ，故这种约束又称为运动约束。 本章只涉及定常双面完整约束。 【解】 由质点距离不变的条件写出M1和M2的几何约束方程 (x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2 由点C的速度vC必须沿杆的方向的条件写出运动约束方程 【例11-3】平面上两个质点M1和M2质量相等。由一长为 l 不计质量的刚性杆连接 ， 运动中杆中点 C 的速度只可以沿着杆的方向如图所示。写出质点M1、M2及中点C的约束方程。 O x y C M2(x2,y2) M1(x1,y1) vC 一、自由度 在完整约束条件下，用来确定质点系在空间的位置所需的独立坐标个数称为质点系的自由度。 一个由n个质点组成的质点系在空间(平面)内的位置 ，在直角坐标系中需用3n (2n)个坐标来确定。 如果质点系受有s个完整约束 ，则质点系的3n (2n)个坐标必须满足s个约束方程。 因此质点系只有k=3n - s (k=2n - s)个坐标是独立的，即其自由度k=3n - s (k=2n - s) 。 §11-2 自由度 广义坐标 【例11-4】求图示系统的自由度。 xA2 + yA2 = r2 (xA-xB)2 + (yA-yB)2 = l 2 yB= 0 k = 2?2 - 3 = 1 y O A(xA,yA) B(xB, yB) r x l ? 【例11-5】 求图示双摆的自由度。 xA2 + yA2 =l12 (xA-