第十四章_幂级数.ppt

习题 补充题 作业 P93:2.3 P103:3.4.5.6 P110:1.2.3. 例1.设 , 将 f (x)展开成 x 的幂级数 , 的和. ( 01考研 ) 解: 于是 并求级数 解: 原式= 的和 . 例2、 求级数 * 第十四章 幂级数 形如： 的函数项级数 称为幂级数。 时为 主要讨论后者 1.收敛域？ 2.一致收敛域？ 3.和函数的性质？ 4.函数展成幂函数 ？ “无穷次”的多项式。 幂级数是一类特殊的函数项级数。 多项式的推广 特别 §14.1 幂级数的收敛半径与收敛域 问题： （阿贝尔第一定理） 在点 收敛， 则对满足不等式 的一切点x， 幂级数 都绝对收敛； 定理14.1 i) 若幂级数 在点 发散， 则对满足不等式 的一切点x， 幂级数 都发散。 ii) 若幂级数 定理中的r称为幂级数的收敛半径。收敛区间为 对任意给定的幂级数，必存在唯一的r（r满 足 使得幂级数在 绝对收敛，在 发散。 推论 考察幂级数 1）收敛半径都是1； 3） (1)在x= (2) (3) 总之：对每一个幂级数，都存在一收敛半径r，使得级数在 内绝对收敛。但在两个端点的收敛性要做专门的讨论。 2）都在（-1，1）绝对收敛； 例1 的收敛半径 均发散 ，故(1)的收敛域为(-1,1). 若幂级数： 则幂级数的收敛半径 r = 求 幂级数的收敛半径与收敛域。 级数为 收敛，故收敛域为 解 : 由 故收敛半径等于 2。当x=2时，级数为 ，发散；当x=-2 时 例2 定理14.2 求 的收敛半径与收敛域 不能用定理13.3计算收敛半径 因此当 即 故级数发散。于是，级数收敛半径为 收敛域为 解： 这个幂级数的偶次幂的系数 但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域： 例3 ，则对任意b： 幂级数在 (2)若幂级数的收敛半径为 ，且幂级数在 (3)若幂级数的收敛半径为 一致收敛。 幂级数在什么地方一致收敛。 定理14.4（阿贝尔第二定理） (1)若幂级数的收敛半径为 一致收敛； 幂级数在 一致收敛； 且幂级数在 收敛，则 则幂级数在 收敛， 幂级数的性质 而 收敛，根据一致收敛的M判别法，知幂级数 在 一致收敛。 ,其中 对任意 根据一致收敛的阿贝尔判别法知 在 一致收敛。 证明 （1）由于 （2）已知 收敛，而 关于 n 单调下降，且 推论1 若幂级数 的收敛半径为 ，则它的和 证明： 由定理13.4知，幂级数在 一致收敛，而 在 连续，因此和函数在 连续，由 的任意性，知和 连续 函数在 连续。 连续， 特别地在 函数在 推论2 若幂级数的收敛半径为 且幂级数在 r 收敛，则 连续。特别地 它的和函数在 若幂级数 的收敛半径为 r，和函数为S(x)，即 则幂级数在收敛区域区间内部可以逐项微商与逐项积分，即 且（2)，(3) 中的幂级数收敛半径仍然是 r ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) 定理14.5 （任意次可微） 的收敛半径为 则其和函数 在 内任意次可微，且 等于 逐项微商次所得的幂级数。 若幂级数 定理14.6 幂级数 在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的, 对每个幂级数　　　，都存在收敛半径 总结 幂级数　　　 在(-r,+r)内绝对收敛，在 　　发散, 但在　　　要具体分析； (i) (ii) (iii) 且收敛半径不变； 幂级数 在收敛区间内部所表示的函数是任意次可微的。 前面的讨论，都是从幂级数出发，看它所表示的函数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看它能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究函数。 收敛到函数 如果幂级数 在 1.满足什么条件,就可以展开成幂级数？ 2.若可以展开的话，展开式是什么形式？ §13.3　函数的幂级数展开 定义 问题： 即 则称 在 可以展开成幂级数； 如果 则称 在 可以展开成幂级数。 (唯一性) 在 那么必有 （ii）如果函数 在 可以展开成 （i）如果函数 可以展开 成幂级数 幂级数展开的唯一性 定理13.7 幂级数 那么系数 满足 为 的麦克劳林级数，称 为 在 的泰勒级数。 Taloy级数与麦克劳林级数 通常称 若 一致有界，即存在 ，使 则 在 可以展开成幂级数 定理13.8 的各阶微商在 证明：用拉格朗日余项 初等函数的幂级数展开 （i） e x 的展开式： （ii）sin x 和 c