计算流体基础.pdf

流体力学基础 什么是流体？ 流体是指没有一定形状可流动的物质，通常是指气体和液体.与之相对应的是 固体，指具有固体形状和不可流动的物质. 流体力学研究的对象是流体，但是有的时候流体和固体是相对的. 泥沙：对于单个泥沙颗粒来说是固体，但是整体可以看成是流体. 爆炸：在爆炸瞬间，可以将固体看成是流体对待. NS 方程的推导 连续介质假设：流体是由无穷多个，无穷小的，彼此紧密毗邻、连续不断的 流体质点所组成的一种绝无间隙的连续介质. 宏观上满足守恒定律： 1 质量守恒 2 动量守恒 3 能量守恒 控制体质量流出量=X 方向净流出量+Y 方向净流出量+Z 方向净流出量. 假设一个微小控制体A X 方向净流出量为： Y 方向净流出量为： Z 方向净流出量为： 控制体质量流出量 该控制体的质量为密度X 体积，即： 则其质量随时间的变化率为： 对于该控制体来说，质量守恒就是流出该控制体的质量流量等于控制体内的质量 减少量.将质量减少定义为负，则质量守恒可以表达为： 即： 或者写为散度形式： 综上，控制体在x 方向上的所受表面力为： 那么控制体在x 方向总的受力为： 同理可得y 方向的动量方程为： Z 方向的动量方程为： 控制体内能量的变化率=流入控制体的净热流量+体积力和表面力对控制体 做功的功率. 体积力做功功率（力的功率等于力与速度的在此力方向上的分量的乘积）为： 参考前面动量方程推导的示意图，压力在x 方向做功功率为： txy 在x 方向所做功率为： 同理，可得所有表面力在x 方向所做功率为： 所有的体积力和表面力所做功功率为： 流入控制体净热流量主要来自于体积加热，比如吸收或释放的辐射热和热传 导等.定义 为单位质量的体积加热率，则控制体的体积加热为： 假设 为热传导在单位时间内通过单位面积在x 方向上输运的热量，那么对于控 制体在x 方向上热传导的热量为： 同理可得整个控制体的热流量为： 根据傅里叶热传导定律，热传导产生的热量与当地温度梯度成正比： 所以总热流量可表示为： 物体的总能量为动能与内能之和，为e v2 / 2 则控制体能量变化率为： 则能量方程可表示为： 这五个方程统称为NS 方程，然后再引入两个补充状态方程： 这样，整个方程组就封闭了，CFD 的任务就是求解这一组方程. 计算流体力学基础 微分方程的解析解和数值解 解析解：如果一个方程或者方程组存在至少一个由有限次常见运算给出的 解，则称该方程存在解析解，或者说能找到未知量y=f （x ）的解.例如方程 我们可以求得解为 y x 2 ，这就是该方程的解析解，从中可以看出解析解的特点 是只要给出x 的值，直接代入解析解中就能得到y 的值，并且y 的值是精确值. 数值解：如果一个方程是采用某种计算方法（如有限元的方法, 数值逼近,插 值的方法）得到的近似解，称为数值解. 由于微分方程复杂，特别是非线性偏微分方程，基本上找不到其解析解，这个时 候就只能求数值解.通过迭代，数值解只能无限接近真实解. 二分法主要用来求解代数方程的根，而微分方程的数值解法主要是迭代法， 牛顿法，龙格库塔等更加复杂的方法.但是二分法与这些方法的基本思想都是相 同的，或者说数值法的主要特点是：给定初始迭代值，通过一定的方法不断迭代 直到数值解无限接近于真实解. 计算流体力学的研究内容就是用计算方法来求解NS 方程得到其数值解. 微分的离散化 微分是对函数的局部变化率的一种线性描述，其定义为： 当x 足够小时，我们可以近似的认为 用线性代数式表示非线性微分方程，这就是求解微分方程的基本思想. 根据泰勒展开公式有： 可以看到最低阶项是x 的一次方项，我们可以将上式写为： 舍弃(x) ，则可得到有限差分表达式： 其中舍弃的部分(x) 称为截断误差.可以看出该表达式的截断误差最低项是x 的一次方，则称该有限差分格式具有一阶精度，由于该表达式仅仅用到了(i,j)和 (i+1,j)的信息，该格式称为一阶向前差分. 再看(i‐1,j)这个点的泰勒展开式为： 与(i+1,j)点处的泰勒展开式相减可得： 即： 可见该有限差分格式具有二阶精度，又由于用到了(i,j)左右两侧的信息，所以称 为二阶中心差分格式.同理，根据以上思路，还能