关于不定积分的分部积分法运算技巧.docx

2014 年 8 月廊坊师范学院学报( 自然科学版)Aug． 2014第 14 卷第 4 期Journal of Langfang Teachers College( Natural Science Edition)Vol． 14 No． 4关于不定积分的分部积分法运算技巧上宏昌( 西安职业技术学院，陕西 西安 710077)【摘 要】 分部积分法是不定积分的一种重要的积分方法，其关键是要合理地选取 u 和 dv。根据多年的教学实 践，归纳总结出了 u 和 dv 的选取规律和技巧，指出了分部积分法的适用范围和应注意的问题，降低了分部积分法的 难度，旨在提高学生分部积分法的运算效率。【关键词】 高等数学; 不定积分; 分部积分法; 技巧On the Indefinite Integral Subsection Integral Operation SkillsSHANG Hong-chang【Abstract】 The integration by parts is an important integral method of indefinite integral，the key is to select reasonable u＆dv． Based on years of teaching practice，the paper summarized the selection rules and skills of u＆dv，points out the scope of integration by parts and the problems that should be paid attention to，reduces the difficulty of the subsection inte- gral method，in order to improve the students＇ efficiency of operating integral method．【Key words】 higher mathematics; indefinite integral; integral method; skills〔中图分类号〕O172． 2〔文献标识码〕A〔文章编号〕1674 － 3229( 2014) 04 － 0019 － 04在不定积分的运算方法中，分部积分法是一种 重要的积分方法，也是较有难度的一种积分方法。学 生在学习这种方法的过程中，由于不能正确把握 u 和 dv 的选择规律，导致对分部积分的运算感到茫 然，当然也就谈不上熟练掌握和应用技巧。因此，在 分部积分法的教学实践中，要让学生掌握 u 和 dv 的 选择规律，加深对分部积分公式的理解，通过针对性 的习题提高分部积分法的运算技巧和运算能力。1不定积分的分部积分公式由于不定积分与微分互为逆运算，而分部积分 法是与积的微分法则相对应的积分方法，其公式的 推导过程如下: 设 u，v 都是可微函数，则 d( uv) =vdu + udv，两端同时求积分可得 ∫d( uv) = ∫vdu +∫udv，整理后即为分部积分公式∫udv = uv － ∫vdu。分部积分公式把积分∫udv 分成两部分: 一部分为 uv，另一部分为∫vdu，其目的是为了把难以求出的 积分∫udv 经过分部转化为容易求出的积分∫vdu 来 运算。因此，在进行分部积分运算时如何把∫f( x) dx 转化成∫udv 的积分形式就显得尤为重要，而 积分∫f( x) dx 转化成∫udv 的关键是从被积表达式 f( x) dx 中选择 u 和 dv，只有合理地选取 u 和 dv，才能使∫udv 经分部转化成易积的∫vdu，从而达到求出∫f( x) dx 积 分结果的目的。2 分部积分法中 u 和 dv 的选择在分部积分法的教学实践中，要教会学生选取u 和 dv 的方法，总结选取规律。［收稿日期］ 2014 － 06 － 01［作者简介］上宏昌( 1971 － ) ，男，西安职业技术学院副教授，研究方向: 高等数学。2014 年 8 月廊坊师范学院学报( 自然科学版)第 14 卷·第 4 期2． 1选择原则选择 dv 时，要通过凑微分使 v 容易求出，这是分把对数函数选作 u，即 u = lnx，则 dv = xdx解: 设 u = lnx，dv = xdx，则 du = 1 dx，由 dv =x部积分的前提; 选取 u 和 dv 时，要使∫vdu 比∫udv 易 2 ∫ 2 2 ∫ 2 积，这是分部积分的目的。在选取 u 和 dv 时，只有满xdx = d x22，得 v = x2。∴ xlnxdx = x2ln