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正几何体表面可展开规律分析 第一章 前言 通过对棱柱体、棱锥、多面体的研究发现，它们之间都有着很密切的关系。正几何体是在棱柱，棱锥等概念的基础上归纳产生的一个更一般化的概念。克卜勒多面克卜勒多面 2.1棱柱体的相关定义 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。 相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 底面多边形的顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两 个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的 高。如图2-1所示： 图2-1 棱柱的高 2.2棱柱的表示法 1.2.1用平行的两底面多边形的字母表示棱柱 如图2-2：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 1.2.2用表示一条对角线端点的两个字母表示 如图2-2：棱柱A C1 图 2.3棱柱的性质 1．侧棱都平行、相等，侧面是平行四边形； 2．两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 3．过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形。 2.4棱柱的分类 1．按侧棱与底面位置关系分类可分为斜棱柱、直棱柱（正棱柱）。 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 底面是平行四边形的棱柱叫平行六面体。 2． 按底面多边形的边数分类可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。 2.5棱柱间的关系 1．如果直棱柱的底面周长是 c ，高是 h ，那么它的侧面积是 S直棱柱侧=ch 。 2．斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积。 2.6棱柱的体积 V=S·h，其中 S 是底面积，h 是高；V长方体=abc，其中a 、b 、c是长方体的长、宽、高；V正方体=a3 ，其中 a 是正方体的棱长。 第三章 棱锥 3.1棱锥的概念 图 3-1 金字塔 图3-2 帐篷 上图3-1、图3-2中的金字塔和帐篷，都给人以顶尖底平的带棱的锥体的印象。 ??? 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥；这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥德侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 说明：棱锥有两个基本特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各个面是有一个公共顶点的三角形。如果说成：“有一个面是多边形，其余各面是三角形所组成的多面体是棱锥”，则是错误的（如右图3-3）。 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 如图3-4： 三棱锥?????????? 四棱锥???????? 五棱锥 图3-4 3.2棱锥的性质 定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比如图3-5。 图3-5 3.3锥体的体积 棱锥和圆锥统称为锥体． 锥体的体积公式是：，其中是锥体的底面积，是锥体的高． 3.4正棱锥的概念和性质 概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥． 性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形． 3.5正棱锥直观图的画法 ??? 画法：（1）画轴；（2）画底面；（3）画高；（4）成图． 以正五棱锥为例，说明正棱锥的直观图的画法，见图2-6： 图3-6 正五棱锥的直观图 第四章 多面体 多面体是在棱柱，棱锥等概念的基础上归纳产生的一个更一般化的概念。它可以根据将其任一个面伸展为平面后其他各面是否都在该平面同侧，分为凸多面体及非凸多面体两类；又可根据其所具有的面的个数，分为四面体、五面体……。迄今为止的研究表明，在三维欧几里德空间中，可能构成的正多面体仅有下列五种?:?正四面体?、正六面体、?正八面体、正十二面体?、?正