降落伞的选择_图文.ppt

降落伞的选择 海南大学信息学院 数学系 舒兴明117562750 附件，计算的lingo程序 * 问题：为了向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需要选购一些降落伞，已知空投的高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳子连接的重m位于球心正下方球面处，如下图： m 每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用为C1由半径r决定；见下表；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用为C3为200元。 1000 660 350 170 65 C1 4 3.5 3 2.5 2 r 降落伞在降落过程中除了受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落伞的速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞从500m高空作降落试验，测得各个时刻的高度，见下表 1 55 108 160 215 264 317 372 425 470 500 x(m) 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 t(s) 试确定降落伞的选购方案，即共需要多少个伞，每个伞的半径多大？在满足空投要求下，使费用最低。 问题分析： 每种降落伞的价格一定，选择不同半径的降落伞，需要满足空投条件，那么就与每种降落伞的最大载重能力有关，要求选择方案，必须先求出空气阻力系数k,然后根据运动方程，得出最大载重量，然后利用线性规划的方法求解最优方案。 基本假设： （1）救灾物资可以任意分割； （2）降落伞落地时的速度不超过20米/秒； （3）降落伞以及绳子质量可以忽略的； （4）降落伞在降落过程中，只受到重力和一个非重力因素的空 气阻力； （5）空气阻力系数k是定值，与其它因素无关。 变量设置： M(r) ：表示半径为r的伞在满足空投条件下的最大载重量； f ：空气阻力； k ：空气阻力系数； t ：降落伞开始下降开始计时的时间； H(t) ：降落伞下降到t时刻时的时间； m ：降落伞负重重量； g ：重力加速度； s ：降落伞伞面面积； n(r) ：选购半径为r的降落伞的个数。 模型建立： （一）确定空气阻力系数k 降落伞在下降过程中，受到重力和空气阻力的作用，且初速度为0。 （I） 1、确定降落伞的高度与时间的关系式 此微分方程为一阶可分离变量的方程，求解得到 （II） 设降落伞从降落位置到t时刻的下降距离为H(t),则 （III) 即 (IV) 高度x与时间的关系式为 2、由已知数据拟合阻力系数k 已知，r=3，降落伞是半个球面，其面积为 重力加速度g=9.8,m=300。另一方面，落地速度不超过20m/s，故有 于是求得k满足 通过观测值的拟合，得到K =2.9377。(附拟合的lingo程序) sets: shuju/1..11/:t,x0,x,y; endsets min=@sum(shuju(i):y(i)); @for(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m^2*g*@exp(-k*s*t(i)/m)/k^2/s^2+m^2*g/k^2/s^2); s=2*pi*r^2; @for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i))^2); data: r=3;g=9.8;pi=3.1416;m=300; t=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30; x0=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1; enddata 这里也可以用matlab中的非线性拟合函数 先编写拟合表达式的M文件 function x=jiangluosan(k,t) r=3;s=2*pi*r^2;m=300;g=9.8; x=500-m*g*t/k/s-m^2*g/k^2/s^2*exp(-k*s*t/m)+m^2*g/k^2/s^2; 再调用拟合函数 [t;x] ans = 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 [beta,r]=nlinfit(t,x,@jiangluosan,2.8) beta = 2.9377 r = 0 -2.7977 0.3783 -0.4628 -2.5475 -2.4886 1.5977 -0