《空间向量及其运算》距离.ppt

* * -----利用向量解决空间的距离问题 立体几何中的向量方法 向量法求空间距离的求解方法 1.空间中的距离主要有: 两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离. 2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则 3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点， 点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过 点P作平面?的垂线PO，记PA和平面?所成的 角为?，则点P到平面的距离 n ? A P O ? (1) 求B1到面A1BE的距离； 例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： 例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： (2) 求D1C到面A1BE的距离； 解:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离 仿上法求得 例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离； 解:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离 例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： (4) 求异面直线D1B与A1E的距离. F E B1 C1 D1 D C A 练习1： 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。 B x y z A1 练习2： 如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1, ∠ACB=900,AA1= , 求B1到平面A1BC的距离。 B1 A1 B C1 A C x y z 小结 利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。 补充作业： 已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 G B D A C E F x y z B A a M N n a b 4.异面直线的距离: ①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解:如图1,不妨设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 典例 思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ (2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? A1 B1 C1 D1 A B C D (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离） 思考(1)分析: 思考(2)分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.