产品的销量预测.doc

B题：产品销量预测 设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻产品销量与t有关。 设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量； 设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量； 试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测时的产品销量. 摘要 在经济学与管理学领域里，人们经常遇到涉及有关经济量的变化，如增长、速率、边际分析等，通常是根据动态平衡法，遵循 净变化率=输入率-输出率 的规则，建立起诸经济量之间的相应的微分方程模型，用以描述并解释各个经济量之间的变化规律，从而做出正确的决策及预测分析。 本文首先针对问题一和问题二，建立了简单的数学模型。例如问题二中的模型实际上就是著名的逻辑斯蒂(logistic)模型,它在人口、虫口模型中应用广泛，并且也被用来预测经济学中一些产品销量等问题，著名的生物增长S型曲线就是通过此模型得到的。文章给出了逻辑斯蒂模型，并解释了它在产品销量问题中的应用，分析了逻辑斯蒂方程的一些简单性质。 针对问题三我们有三种种思路，第一：考虑到在现实中，影响产品销量的因素有很多，此时问题二中的模型就显得太过简单，文章加入了其他的现实因素，比如价格，产品寿命损耗等因素，改进了原来的模型，并简要分析说明了模型的优越性。第二：运用线性回归的知识建立数学模型。第三：因为线性回归方程中汽车销量需要知道影响因素的一些数据，但我们却并不知道，所以通过线性回归得到的方程还不够。这里还有许多其他不确定因素所以我们采用方法二灰色预测的方法来预测汽车销量。 关键词：逻辑斯蒂模型，改进的模型，线性回归，灰色预测 问题重述 B题：产品销量预测 设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻产品销量与t有关。 设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量； 设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量； 试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测时的产品销量. 基本假设 假设所考虑因素为全部主要影响因素； 假设数据具有真实性； 假设未来几年里影响因素不会发生太大的变化； 假设建立模型所需要的初步预测具有可行性。 符号的约定 表示t时刻的销售量； 表示时刻的销售量； N 产品销售的市场容量; 表示t时刻产品销量的增长率； 问题的分析 此问题是在目前社会经济日益发展迅速，人们越来越重视经济发展的情况下提出来的。对于产品的销售人们也使用越来越注重视其方法以促进产品的销售。 本文根据问题一：设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量；以及问题二：设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量；利用所给关系，通过建立微分方程来求解。 针对问题三：试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测时的产品销量。对于问题三本文我们以汽车销售为例。由于影响汽车销量的因素很多，比如国家政策导向、油价的浮动、汽车寿命、城市交通状况、GDP水平等等，因此针对如此之多的不确定因素，我们很难分别量化的给出各种因素对产品销量的影响，鉴于此文章采用灰色预测的方法来预测汽车的销量，具体分析在下文给出。 模型的建立与求解 5.1模型一的建立与求解： 5.1.1模型一的建立： 针对问题一：设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量；建立微分方程如下： (5.1) 5.1.2模型一的求解： 对（5.1）进行分离变量法，然后积分； 求解得： （5.2） 所以时刻的销售量为： （5.3） 5.2模型二的建立与求解： 5.2.1模型二的建立： 针对问题二：设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量；建立微分方程如下： （5.4） 5.2.2模型二的求解： 对于式（5.4）进行分离变量法得到， 然后积分，可以得到 解为： （5.5） 式（5.4）恰好是logistic模型。 由式（5.5）很容易得知： (5.6) (5.7) 5.2.3模型的分析： 从该模型的结果可以得出结论： 当时，，销售量单调递增； 当时，，此时为拐点； 当时，，此时增长速率递减； 当时，，此时增长速率递增。 这说明当销售量达到市场最大需求量N的一半时，产品为畅销时期，当销售量不足最大需求一半的时候销售速度不断增加；而当