简单几何体的外接球与内切球问题.doc

简单几何体的外接球与内切球问题 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 直棱柱的外接球 长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即 正方体的外接球： 正方体的棱长为，则正方体的体对角线为，其外接球的直径为。 其它直棱柱的外接球： 方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 . 例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A. B. C. D. 棱锥的外接球 正棱锥的外接球 方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。 例3、正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 . 例5、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为___________。 例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） 　　（A） (B) (C) (D) 补体方法的应用 （1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥 （3）、四个面均为直角三角形的三棱锥 例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是 。 例9、在三棱锥中，, 则三棱锥外接球的表面积__________。 例10、如图为一个几何体的三视图则该几何体的外接球的表面积为(　　) A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π 圆柱、圆锥的外接球 旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。 例11、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。 例12、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径。 正方体的内切球 设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。 棱锥的内切球（分割法） 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. 例17、正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少中，底面是边长为2的正三角形， ⊥底面，且，则此三棱锥内切球的半径为（ ） 圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法） 例19、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。 例20、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。 巩固训练： 1、一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________． 3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 4、已知三棱锥的所有顶点都在球的面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为 （　　） A． B． C． D．正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________. 图1 图2 A B C P D E F