高等数学教学课件（同济六版）-张士军-8-4 曲面及其方程.pptVIP

* 第四讲 曲面及其方程 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系: (1) 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程; 则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状 (必要时需作图). 概念 求动点到定点 距离为R的轨迹方程 例1 例2 求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4) 等距离的点的轨迹方程. 例3 研究方程 表示怎样的曲面 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 一条平面曲线绕其平面上 所形成的曲面. 旋转曲线 概念 母线 定直线 轴 一条定直线旋转一周 旋转曲面的方程 给定yoz面上曲线C: 在曲线C上任取一点M1(0,y1,z1) f (y1,z1)=0 曲线C绕z轴旋转 M (x,y,z) z坐标不变 z=z1 点M到z轴的距离不变 当曲线C:f (y,z)=0绕y轴旋转，方程为: yoz面上曲线C: 绕z轴旋转曲面方程 方程的特点 在 中 z不变 y变为 类似地 建立顶点在原点, 旋转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面方程. 例4 例5 注 锥面方程特征 齐次方程 求坐标面xoz上的双曲线 分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 绕x轴旋转 绕y轴旋转 旋转双曲面 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 方程 表示怎样的曲面. 在xoy面上， 表示圆C, 在空间 过M1作 平行z轴的直线l, 表示 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足方程, 引例 分析 沿曲线C平行 z 轴的直线形成的曲面 方程 表示怎样的曲面. 在xoy面上， 表示圆C, 在空间 过M1作 平行z轴的直线l, 表示 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足方程, 引例 分析 沿曲线C平行 z 轴的直线形成的曲面 平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹 叫做柱面. C叫做准线,l叫做母线. 概念 圆柱面 准线: xoy面上的圆 母线: 平行于z轴 抛物柱面 母线平行于z轴; 准线为xoy 面上的抛物线. 母线平行于z轴 方程特点 椭圆柱面 方程中缺少坐标; 缺少哪个坐标,母线平行哪一坐标轴; 准线为xoy 面上的椭圆. 平面 母线平行于z轴 准线为xoy 面上的直线. 一般地,在空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法: 二次曲面的基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 截痕法 1. 椭圆锥面 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. ① 2. 椭球面 (1) 范围： (2) 在垂直坐标面的平面上的截痕： 椭圆 (3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 3. 双曲面 (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 平面 上的截痕情况: 双曲线: 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: