工程数学-积分变换（张元林）1-2.pptVIP

一、 Fourier变换的概念 1.若函数 f(t) 满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处, 有 一、 Fourier变换的概念 同理可得 2) d -函数的导数 若 f(t)为无穷次可微的函数,则有 同理可得 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 3) d -函数是偶函数: 证明: 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 4) d -函数是单位阶跃函数的导数: 称为单位阶跃函数、 5) 时间尺度变换性质: 其中 为任意正数. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 6) 卷积性质 7) 乘以时间函数的性质 其中 为任意常数. 为在 处连续的任意函数. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 1) 　　　　 的Fourier变换对 2.d -函数的Fourier变换 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 可见, 单位脉冲函数d (t)与常数1构成了一个Fourier变换对. 2) 　　 的Fourier变换对 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 可见, 与 构成了一个Fourier变换对. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 证明单位阶跃函数 的Fourier变换为 则 表明 的Fourier变换为 求正弦函数 的Fourier变换. 根据Fourier变换的公式,有 三、非周期函数的频谱 1.周期函数的频谱 对于以　为周期的非正弦函数　　，它的第　次谐波 的振幅为 第*页 主页 上一页 下一页 退出 积分变换 第*页 * 四、 小结 一、 Fourier变换的概念 二、 单位脉冲函数及其Fourier变换 三、 非周期函数的频谱 f(t)的Fourier变换 记作: F(w)叫做 f (t) 的象函数. F (w)的Fourier逆变换 记作: f (t) 叫做 F (w)的 象函数F(w)和象原函数 f (t) 构成了一个Fourier变换对. 象原函数. 2、 Fourier变换的奇偶虚实性质 1)F (w)和 f (t)有相同的奇偶性 . 2)f (t) 为t 的实值函数的充要条件是F (w)的实部为w的偶函数,虚部为w的奇函数. 3)f(t) 为t 的虚值函数的充要条件是F (w)的实部为w的奇函数,虚部为w的偶函数. 一、 Fourier变换的概念 3.Fourier正弦变换及正弦逆变换: 当f(t)为奇函数时 , Fourier正弦变换 一、 Fourier变换的概念 Fourier正弦逆变换 一、 Fourier变换的概念 当 f (t) 为偶函数时 , Fourier余弦变换 一、 Fourier变换的概念 Fourier余弦逆变换 一、 Fourier变换的概念 令 则 为复平面s上的解析函数, 取如图的闭曲线 由Cauchy积分定理有: 实轴 虚轴 矩形 当 时,有 同理,当 时,有 即 钟形脉冲函数的Fourier变换为 2) 钟形脉冲函数的积分表达式 积分性质,有 由 利用奇偶函数的 的正弦变换和余弦变换. 由 正弦变换为 余弦变换为 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t)、 以q(t)表示上述电路中到时刻t为止通过导体截面的电荷函数, 则 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 所以,当t?0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点的导数不存在、 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示上述电路的电流强度、 为了确定这种电路上的电流强度, 必须引进一个新的函数,这个函数称为 Dirac函数, 简单地记成d-函数、 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 对于任何一个无穷可微的函数f(t),如果满足 则称 的弱极限为d -函数, 记为d(t). 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 表明d -函数可以看成一个普通函数序列的弱极限. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 d -函数的定义: 任何 ，有 工程上,常将d -函数称为单位脉冲函数. 可将d -函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d -函数的强度. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 1.d -函数的性质: 证明: 若　　为无穷次可微的函数,则有 1)筛选性质