工程数学-积分变换（张元林）2-5.pptVIP

一、微分、积分方程的Laplace变换解法 首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace逆变换得最后的解. 小结： 用Laplace变换求线性微分、积分方程及其方 程组的解时，有如下的优点： １）在求解的过程中，初始条件能同时用上，求出的结果就是需要的特解，这样就避免了微分方程的复杂运算. ２）零初始条件在工程技术中是十分常见的，由上一个优点可知，用Laplace变换求解就显得更加简单，而在微分方程的一般解法中不会因此而有任何变化. 在上述一阶常系数线性微分方程中,通常将外加电动势e (t)看成是这个系统的随时间t变化的输入函数, 称为激励, 而把电容两端的电压u C (t)看成是这个系统的随时间t变化的输出函数, 称为响应. 两边取Laplace变换并通过整理,可得 假设某个线性系统的传递函数为 或 Y (s)=G (s) X (s) 在系统的传递函数中, 令 , 则得 　　如图所示 电路, 当把电源电势e (t)看成激励, 则响应uC(t)与e (t)满足的微分方程为 两边取Laplace变换, 并设 L [uC(t)]=UC (s), L [e (t)]=E (s), 有 RC[sUC(s)-uc(0)]+UC(s)=E (s) 5.脉冲响应函数 设g (t)= L -1[G(s)]，则由卷积定理可得 三、线性系统的传递函数 ? 即系统的响应等于其激励与 的卷积. 一个线性系统除用传递函数来表征外, 也可以用传递函数的逆变换 来表征.称 为系统的脉冲响应函数.即 三、线性系统的传递函数 时, 则在零初始条件下, 有 所以 即 6.频率响应 三、线性系统的传递函数 称它为系统的频率特性函数, 简称频率响应, 可以证明, 当激励是角频率为w的虚指数函数x (t)=ejw t时, 系统的稳态响应是y (t)= G ( j w )e j w t. 因此频率响应在工程技术中又称为正弦传递函数. 电路的传递函数为: 利用Laplace变换求解定解问题: 二、偏微分的Laplace变换解法 对方程的两边关于t取Laplace变换, 设 得 问题转化为求解常微分方程的边值问题: 得方程的通解为: 代入边界条件得 得 对上式取Laplace逆变换, 得 利用Laplace变换求解定解问题: 其中 均为常数. 对方程的两边关于t取Laplace变换, 得 问题转化为求解常微分方程的边值问题: 得方程的通解为: 由边界条件得 得 对上式取Laplace逆变换, 得 余误差函数 利用Laplace变换求解定解问题: 取Laplace变换, 设二元函数 由微分性质得 对定解问题关于x 问题转化为求解常微分方程的初值问题: 得方程满足初始条件的解为: 得定解问题的解为: 利用Laplace变换求解定解问题: 对定解问题关于t取Laplace变换, 记 定解问题转化为含参数的二阶常系数线性微分方程的边值问题: 得通解为: 代入边界条件得 得 对上式取Laplace逆变换, 得 利用Laplace变换求解定解问题: 课堂练习:请同学们仿例12解答! 三、线性系统的传递函数 1.线性系统的激励和响应 这是一个一阶常系数线性微分方程. 一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述. 例如例6中的RC串联电路, 电容器两端的电压u C (t)所满足的关系式为 2.激励和响应的概念 三、线性系统的传递函数 三、线性系统的传递函数 这样的 RC 串联的闭合回路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统, 如下图所示. 而虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接方式. 这样一个线性系统, 在电路理论中又称为线性网络(简称网络). 一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定. 三、线性系统的传递函数 3.传递函数的概念的引入 三、线性系统的传递函数 对于不同的线性系统, 即使在同一激励下, 其响应也是不同的. 在分析线性系统时, 我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况, 而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系, 可绘出如下图所示的情况表明它们之间的联系, 为了描述这种联系需要引进传递函数的概念. 三、