工程数学-新编统计学教程（同济）chapter4.pptVIP

第四章 随机变量及其分布 例4.4 设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率。 当问题中的n很大时，二项分布的概率计算很困难。这时，可用其近似算法 设 ，当n很大，p很小，且 适中时，有 二项分布的逼近 例4.6 设某班车起点站上客人数X服从参数为 的泊松分布，且起点站上有一个客人与2个客人的概率相同，求起点站上至少有2个客人候车的概率。 分布函数性质 分布函数在0-1之间取值 §4.3 连续型随机变量及其分布 随机变量可能的取值可充满一个区间（或若干个区间的并） 密度函数具有下列性质： 注：1、这两条性质反映了密度函数的本质，即如果一个函数满足上述两条，那么f(x)一定是某个随机变量的密度函数。 常用结论： 1、F(x)是连续函数，且在f(x)的连续点处有 例4.8 某种型号的电子管的寿命（以小时计）具有以下的密度函数 4.3.2 常用的连续型随机变量 均匀分布 设随机变量X的密度函数为 例4.9 某公共汽车站从上午7时起，每隔10分钟来一趟车，一乘客在7：00到7：20之间随机到达该车站，求该乘客等候不到5分钟乘上车的概率。 解：设乘客于上午7点过X分到达车站，由于乘客在7：00到7：20之间随机到达，因此X是服从区间(0,20)上的均匀分布，即X的密度函数为 指数分布 如果X的密度函数为 例4.10 假设一设备开机后无故障工作的时间 服从参数为0.1的指数分布，试求设备无故障工作时间不超过5小时的概率。 解：由题意知 正态分布 如果随机变量X的密度函数为 当 时，称X服从标准正态分布。 正态分布——概率论中最重要的分布 理论地位 实际应用 注：若随机变量取值受大量微小因素影响的，则其值往往服从正态分布。 如：测量误差、男性成年人的身高、自动机床生产的产品尺寸、学生的考试成绩等都服从“中间大、两头小”的正态分布。 正态分布 例4.13 某人上班所需的时间 （单位：min），已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求： 解：⑴由题意知某人路上所花时间超过40min，他就迟到了，因此所求概率为 §4.4 多维随机变量的概念 在实际问题中，试验结果往往同时需要用两个或两个以上的随机变量来描述。 要研究这些随机变量之间的关系，就应同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律。 为了简明起见，只介绍二维情形，多于二维的情形，可仿此类推。 如果二维机变量(X,Y)仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 独立性 对一切x和y成立，则称X、Y独立。 §4.5 随机变量的数字特征 例4.14 为了解某路口在每天交通繁忙时（上午9时）左转弯的候车数，观测了60次（天）得数据如下： 试求上午9时在该路口等候左转弯的平均车辆数。 数学期望定义 设离散型随机变量的分布律为 例4.15 设 分布，求E(x)。 解：因X有分布律 例4.17 设 ，求：E(x)。 解：注意到有概率密度函数 随机变量的函数g(x)的数学期望 例4.19 对例4.15，例4.16，例4.17，例4.18中的分布求 解： 数学期望的重要性质 随机变量的数学期望只是反映了随机变量的平均取值，有时仅用这个指标去看问题有它的局限性，这一点可从下面的例子来说明。 例4.22 某班有20个学生，分了二组，二组学生每人的数学成绩有如下的取值 可计算出两组学生的平均成绩都是75，但直观上第一组平均成绩比第二组平均成绩75有较大的偏离。 因此，欲描述一组数据的分布单单有中心位置的指标是不够的，还需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标。 方差 例4.24 设 ，求D(x)。 方差重要性质 4.5.3 协方差和相关系数 相关系数 §4.6 独立随机变量和的收敛性 4.6.1 切比雪夫不等式 依概率收敛 4.6.2 独立随机变量和的收敛性 4.6.3 中心极限定理 例4.27 设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。 已知每户每日用电量（单位：度）在上服从均匀分布，求： 1 1 1 解：由期望，方差的性质得 该例子告诉我们样本均值的期望为总体均值，样本均 值的方差仅为总体方差的 倍。 为X与Y的协方差，并记协方