龚德恩-线性代数-jj-xd0201.pptVIP

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* 第一节 n 阶行列式 一、二阶、三阶行列式 二、n阶行列式 一、二阶、三阶行列式 在中学代数中,我们已学习用二阶行列式解二 若记矩阵 则方程组的矩阵形式为 元线性方程组. 设二元线性方程组 利用消元法解方程组: 用 和 分别乘方程(1)、(2)后,两个方程相减, 可消去 ,有 类似地,消去 ,有 当 时,可求得方程组的解 为了便于记忆、使用这一解的公式.引入一个概念----二阶行列式. 二阶行列式的计算方法则可利用下图示说明, 并称这一计算方法为二阶行列式的对角线法则. 对于任意的二阶矩阵 ,规定记号 称为二阶矩阵A的行列式,简称为二阶行列式. 例 (代数和) 如果记矩阵 则方程组的解 对于方程组 当 时, 可以表示为 解 方程组的系数矩阵A的行列式 又 所以方程组的解为 例2.1 解二元线性方程组 二阶行列式的概念可以推广到更高阶的情形. 对于三阶矩阵 规定 并称 为三阶矩阵A的行列式,简称三阶行列式. 利用图示记忆 (每一项都是不同行 不同列元的乘积) 例2.2 设矩阵 ,求 . 解 根据三阶行列式的对角线法则,有 二、n阶行列式 先分析三阶行列式的特点: 设 其行列式 可以看出,三阶行列式 等于它的第一行的 各元 分别乘二阶行列式的代数和, 其中与 相乘的二阶行列式恰是由 矩阵A中划去第一行、第j列后余下元构成的二阶 矩阵的行列式,并赋以符号 对二阶行列式仍是成立的. (一阶 ) 定义2.1 一阶矩阵 的行列式定义为数 , 即 定义A的行列式 称为元 的余子式. 设 阶矩阵的行列式已定义,则对于n阶矩阵 即元 的余子式为 如果记 称为元 的代数余子式. 则 n阶行列式可写为 即n阶行列式 等于它的第一行各元与其代数 余子式的乘积的代数和. 上式也称为行列式 按第一行的展开式. 注: 矩阵与行列式是不同的两个概念. n阶矩阵是 个数排成的正方形数表,而其行列式是将其元按一定规则计算得到的一个数. 解 由行列式定义,有 例2.3 求矩阵A的行列式,其中 而 所以 例2.4 设n阶下三角矩阵 求 . 解 由于 根据行列式定义,有 * *

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