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* 第二节 行列式的性质 二、行列式的性质 一、行列式按行(列)展开 利用行列式定义计算较高阶的行列式,计算量 较大.本节所介绍的行列式性质可将行列式化简 以便于计算. 一、行列式按行(列)展开 第一行的各元与对应的代数余子式乘积的代数和. 即行列式按第一行的展开式. 根据行列式的定义矩阵A的行列式 等于它的 定理2.1 设n阶矩阵 ,则 即矩阵A的行列式 等于它的第一列的各元与 对应的代数余子式乘积的代数和. 上式也称为 按第一列的展开式. 行列式能否按第一列展开呢？ 例如求行列式 根据定理2.1,有 定理2.2 n阶行列式等于它的任意一行(列)的各 元与其对应的代数余子式的乘积之和. 或 上两式分别称为行列式 按第i行(第j列)的 展开式. 即对于矩阵 (证明略). 推论 n阶行列式某一行(列)的元与另一行(列) 对应元的代数余子式的乘积的和等于零.即 (证明见行列式性质2的推论后). 性质1 矩阵 与其转置 的行列式 相等.即,若 则 . 利用行列式定义和定理2.1容易证明. 二、行列式的性质 例2.5 计算上三角形矩阵A的行列式,其中 解 因为 ,而 是下三角形行列式 性质2 交换行列式两行(列)的位置,行列式变号. 例如, 交换第一行与第二行,则 推论 若行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式等于零. 实际上,若 中有两行(列)相同,交换这两行 由此得到 (列)的位置,有 第i行、第s行元完全相同,由性质2的推论, 定理2.2的推论 n阶行列式某一行(列)的元与另 一行(列)对应元的代数余子式的乘积的和等于零. 证 n阶矩阵 ,将矩阵A的第s行元换为 第i行 的元,得到矩阵B的 利用性质2的推论证明定理2.2的推论： 即 类似可证 将 按第s行展开,则 B的行列式 则可得此结论. 性质3 行列式某一行(列)的公因数可提出到行 列式外.例如 推论1 若行列式中有一行(列)的元全为零, 则此行列式等于零. 实际上,把该行(列)的零因子提到行列式外, 推论2 若行列式有两行(列)的对应元成比例, 则此行列式等于零,即 (第s行) (第i行) 实际上,若把第s行的公因子k提到行列式外面 则行列式有两行完全相同,由性质2的推论可得. 性质4 若行列式中某一行(列)的所有元都是两个 数的和,由此行列式可写成两个行列式的和,即 例2.6 计算三阶行列式 解 由性质4 性质5 把行列式的某一行(列)的所有元乘以数k 加到另一行(列)的相应元上,行列式的值不变,即 (i行) (s行) 例2.7 计算四阶矩阵 解法一 利用行列式性质将 化为上三角形 行列式: 再设法将 按第三列展开: 解法二 注意到 中第三列最为简单.先化简, (按第三列展开) (按第三行展开) 在计算较高阶的行列式时, 可以利用行列式 注: 性质将其化为上(下)三角形行列式,或将行列式 的某一行(列)化为仅有一个不是零,然后按该行 (列)展开,化为较低阶的行列式. 例2.8 求n阶矩阵A的行列式 ,其中 解 中每一行元的和都是 ,所以 将 的第2列、 、第n列均加到第一列上, 并提出公因子到行列式外. 例2.9 计算n+1阶行列式 解 将行列式 的每一列加到第二列上.所得 第 列上,则有 新的第二列加到第三列上, ,新的第n列加到 *例2.10 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 的乘积. 其中 表示所有可能的 * *