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* 第三节 逆矩阵公式和矩阵的秩 一、逆矩阵公式 二、矩阵的秩 本节利用行列式的有关性质更深入地讨论 的秩的概念. 一、逆矩阵公式 是非奇异矩阵或非退化矩阵. 逆矩阵的性质,并对于一般的 矩阵提出矩阵 定义2.2 若n阶矩阵A的行列式 ,则称A 或退化矩阵. 否则称A是奇异矩阵 如何求非奇异矩阵的逆矩阵？ 称为矩阵A的伴随矩阵. 定理2.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵为 ,则 定义2.3 设 是 A 的元 的代数余子式.矩阵 证 根据定理2.2及其推论,有 类似可得 定理2.6 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是 A为 非奇异矩阵.并且,当A可逆时，有 于是，有 （逆矩阵公式） 即 证 满足 . 即 ,所以 所以A可逆,且 . 充分性 设A为非奇异矩阵,则 . 利用该公式求 的方法称为伴随矩阵法. 由定理2.5, 必要性 设A为可逆矩阵,则存在矩阵 两边取行列式,有 即A为非奇异矩阵. 例2.14 用伴随矩阵法求 . (1) (2) 解(1)矩阵A的行列式 所以A可逆,又 所以A的伴随矩阵 于是 (2)矩阵A的行列式 所以,矩阵A可逆.又 类似地,有 所以,A的伴随矩阵 于是 计算量大,在实际计算时,我们仍利用初等变换法 注：用逆矩阵公式计算 , 在A的阶数较高时, 求逆矩阵. 仅在求二阶、三阶矩阵的逆矩阵时, 使用伴随矩阵法. 在这一意义上, 逆矩阵公式仅 具有理论意义. 例2.15 设A为三阶矩阵, 为A的伴随矩阵, 如果 .求 的值. 解 由 可知A可逆,且 利用 ,得 所以 二、矩阵的秩 矩阵.然而,我们可以引入矩阵的秩的概念,以研 究矩阵的性质.在线性方程组理论中,这一概念 也有重要的应用. 对于一般的 矩阵,不存在通常意义上的逆 定义2.4 在矩阵 中任取k行、k列 称为矩阵A的一个k 阶子式. 个元按原来的相应位置所构成的一个k阶行列式, 位于这些行、列交叉处的 例如,设矩阵 取定A的第二行、第四列,交叉处的元构成一 阶子式: . 一阶子式. 取定A的第二、三两行和第二、四两列,交叉 处的元可构成一个二阶子式: 实际上,A的每个元都可构成 不难看出这样的二阶子式共有 个. 由定义2.5可知,当且仅当矩阵A中有一个r阶 定义2.5 设矩阵 A中不等于零的 子式的最高阶数r,称为矩阵A的秩.记作 秩 或 . 子式不等于零,而所有 阶子式(如果存在 阶子式的话)都等于零时, . 对于零矩阵 ,它的任一子式全等于零, 规定 . 这时A称为满秩矩阵. n阶矩阵A的n阶子式只有一个 , A可逆的充分必要条件是 对于任一矩阵 ,如果A中有某一k阶子式 不等于零,则必有 ;如果A中所有s阶子式 都等于零,则必有 . (请读者自证): 一般地,矩阵 的秩具有下述性质： 例2.16 求矩阵A的秩,其中 解 矩阵 ,故 ,可以看出A是一个 阶梯形矩阵,取A的第一、二行,第一、三列, 可得二阶子式 而A的所有三阶子式都等于零,所以 . 即阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数. 式的值,计算量较大.一般,我们可以用矩阵的初 利用定义2.5直接求 的秩,需计算多个子 等变换求矩阵的秩. 定理2.7 矩阵经初等变换后,其秩不变. 初等行变换其秩不变. 当对A施以交换两行或用非零数k乘某一行的 变换时,变换后的矩阵的任一子式都能在原矩 阵A中找到相对应的子式,它们之间仅可能是 证 设矩阵 ,我们只需证明A经过一次 行的顺序不同,或仅是某行乘以非零数, 因此 对应的子式或同为零、或都不为零.所以经前 两种初等行变换后,矩阵的秩不变. 当对A的施以第三种初等行变换时,不妨设把 A的第二行的 倍加到第一行上,得到矩阵 如果 不包含B的第一行元,则在原矩阵A中 可找到与 完全相同