龚德恩-线性代数-jj-xd0301.pptVIP

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* 第一节 线性方程组的解 二、克拉默法则 三、线性方程组有解判别定理 一、n元线性方程组的概念 一般形式 记矩阵 (含有m个方程、n个未知量) 则方程组的矩阵形式: 一、n元线性方程组的概念 方程组解的全体称为方程组的解集合或解集. 的一个解或解向量. 方程组的矩阵形式: 其中A称为方程组的系数矩阵, b称为常数项矩阵, 而矩阵 称为方程组的 x称为未知量矩阵. 如果 可以使方程组中的 m个等式都成立,则称 为方程组 如果两个方程的解集相等,就称这两个方程组 同解. 增广矩阵. 对于一般的线性方程组 (1)方程组在什么条件下有解? (2)如果方程组有解,它有多少个解? (3)如何求出方程组的解? (4)如果方程组的解不唯一,解的结构有何特点? 需要解决一下四个问题: 二、克拉默法则 方程组一般形式为 如果方程个数与未知量个数相等时 , 矩阵形式为 系数矩阵 称为系数行列式. 其中 , 利用行列式的性质, 可得到求解线性方程组的 方法.这就是克拉默法则. 定理3.1 (克拉默法则) 如果线性方程组 方程组的解为 的系数行列式 , 则该方程组有唯一解,且 其中矩阵 是将系数矩阵A的 第 列换为 后所得到的 阶矩阵. 所以 证 由 可知矩阵 可逆, 且逆矩阵 是唯 一的.在方程 两边左乘 ,可得方程组 的唯一解 .又 , 即 由此可得 例3.1用克拉默法则解线性方程组 解 根据克拉默法则,有 注: (1) 克拉默法则法则只能应用于n个未知量、 n个方程并且系数行列不等于零的线性方程组. 在求解未知量较多的方程组时,克拉默法则不 太具有实用价值.在这一意义上,克拉默法则仅 具有理论上的意义. (2)由于需计算 个 阶行列式,计算量较大, 线性方程组 矩阵形式 其中 初等行变换,化为阶梯形矩阵: 三、线性方程组有解判别定理 由§1.4的讨论知,对增广矩阵 作有限次 同解方程 “ ”.这是一个矛盾方程.因此同解方程组 1. 若 ,则同解方程 中第 个方程为 无解,从而原方程组也无解. 2. 若 ,则同解方程组 有解, 对应的 原方程组也有解.这时,可能有两种情况: (1) 若 ,则方程组 为 原方程组有唯一解. (2) 若 ,则同解方程组 为 即 其中 称为自由未知量,可任意取定, 因此原方程组有无穷多组解. (全部解或通解) 是否有解: 1. 对方程组的增广矩阵 施以初等行变换 化为阶梯形矩阵,根据 是否等于零判断方程组 (1) 若 ,则 , 即 ,方程组无解. 求解线性方程组 的步骤: (2) 若 ,则 , 方程组有解,并且当 时,有唯一解; 当 时,有无穷多解. 2. 在方程组有解时,对阶梯形矩阵继续施以初等 行变换化为简化的阶梯形矩阵.从而得到方程组 的全部解或通解. 由于阶梯形矩阵所对应的阶梯形方程组组与 原方程组同解,可见步骤1中的条件不仅是充分的, 而且是必要的,所以上述结论可写成如下定理: 定理3.2 n元线性方程组 (1) 无解的充分必要条件是 ; (2) 有唯一解的充分必要条件是 (3) 有无穷多解的充分不仅条件是 在方程组 则称该方程组为齐次线性方程组. 否则,方程组称为非齐次线性方程组. 中,如果所有常数项 矩阵形式 即齐次线性方程组 非齐次线性方程组 矩阵形式 (2)

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