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* 第四节 向量组的秩 一、向量组的极大线性无关组和秩 二、矩阵的秩与向量组的秩的关系 一、向量组的极大线性无关组和秩 一个向量组可能线性无关,也可能线性相关． 当线性相关时,我们需关注其线性无关的部分 组中最多含多少个向量． 例如设有向量 线性相关. 可以看出,　　 线性无关, 实际上,部分组 也线性无关. 引入向量组极大线性无关组的概念: 　　 满足条件: (1) 线性无关； (2) 向量组　　　　　中的任意一个向量都可以 由此部分组　　　　　　线性表示． 则部分组 称为此向量组的一个极大 线性无关组,简称极大无关组． 定义3.7 如果向量组　　　　　的一部分组 的一个极大无关组. 由极大无关组的定义, 部分组 但 不是极大无关组. 设向量组 就是向量组 任取向量组　　　　 　中的一个向量 添加到部分组　　　　　　中, 则 线性相关． 由极大无关组的定义,一个向量组的极大 无关组是它的线性无关部分组中含有向量个数 定义中条件(2)可以用下述条件代替： 最多的那个. 即 如果向量组 　　　　　 的一个极大无关组为 还有的话）所构成的部分组一定线性相关． 则向量组 中任意　 个向量(如果 例3.22 设向量组 因部分组　 线性无关， 线性相关,且向量组中任一向量都可以由部分组 　　线性表示： 所以部分组　　 是向量组　　　　的一个极 大无关组． 求它的所有极大无关组. 解 而向量组 类似可以验证：　　和　　 也是此向量组 的极大无关组． 2.如果向量组线性无关，则其极大无关组就 是自身； 组不存在极大无关组． 由定义3.7，我们可以直接得到： 1.一个向量组的极大无关组可能不是唯一的． 3.如果一个向量组仅含有零向量，则该向量 注: 证 设向量组　　　　　的一个极大无关组为 根据定义3.7， 可由 线性表示；而任一 也可由　 线性表示． 所以　　　　　与 等价. 定理3.11 向量组　　　　 与其极大无关组等价． 推论1 向量组　　　　　的任意两个极大无关组 等价． 这一结论可直接由向量组等价的传递性得到． 推论2 向量组　　　　　的任意两个极大无关组 所含向量个数相同． 证 设向量组　　　　　的两个极大无关组为 (I)： 和 (II)： 根据本定理的推论１,向量组(I)与(II)等价. 而向量组(I)、(II)都线性无关． 根据定理3.10的推论２,有 推论2说明,同一向量组的不同极大无关组所含 向量的个数相同．因此，我们可引入 定义3.8 向量组　　　　　的极大无关组所含有 向量个数,称为该向量组的秩,记作 在例3.22中,向量组　　　　的秩为２,即 1.若一个向量组仅含有零向量, 规定其秩为零． 2.向量组　　 　　 线性无关 注: 定理3.12 如果向量组　　　　　与向量组 等价，则它们的秩相等． 证 设 两个向量组对应的极大无关组分别为 由定理3.11,有 和 又已知 则由向量组等价的传递性,有 根据定理3.10的推论2,得 即等价向量组的秩相等. 线性表示, 则 证 设 和 分别为向量组 和 的极大无关组， 则由定理3.11,有 例3.23 如果向量组 可由 因为 可由 线性表示， 从而 可由 线性表示. 又 线性无关,由定理3.10的推论1， 得 故 可由 线性表示. 即 二、矩阵的秩与向量组的秩的关系 如果A 的行向量组为 其中 则向量组 的秩,称为矩阵A的行秩； 如果A的列向量组为 其中 矩阵