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* 第六节 向量空间 一、向量空间与子空间 *二、向量空间的基与维数 *三、基变换与坐标变换 定义3.10 设V为n维向量的集合,如果集合V非空, 则称V为向量空间. 一、向量空间与子空间 全体n维向量的集合Rn称为n维向量空间. 且集合V 对于向量的线性运算封闭,即 (2) 若 则对任意实数k, (1) 若 则 在 中,任意两个n维向量的和仍是n维向量; 数k乘任一n维向量仍是n维向量.即 对于向量的 线性运算是封闭的.所以, 构成一个向量空间. 当n=1时, 为一维向量空间,简记为 (实数轴). 一维向量表示数轴上的一点 几何意义: 或以原点为起点到 的有向线段. 在三维向量空间 中,三维向量有类似的性质. 当n=2时, 为二维向量空间. 二维向量 表示坐标平面上的一个点,或以 原点为起点, 为终点的有向线段(向量). 例3.31 仅含n维零向量的集合是一个向量空间 证: 由齐次线性方程组的解的(线性)性质, 例3.32 设矩阵 证明齐次线性方程组的 解集 是一个向量空间. 解集对于解向量的线性运算封闭,故得证. 也是方程组 的解. 若 是方程组 的解,则 ( 为任意常数) (称为零空间). 非齐次线性方程组的解集 不是向量空间. 事实上,当 时,对于 有 可知 故 不是向量空间. 是向量空间吗? 则称 是 的子空间. 定义3.11 设有向量空间 和 如果 例如,零空间是 的一个子空间; 齐次线性方程组的解空间是 的子空间. 定义3.12 设V为向量空间,如果向量 且满足 二、向量空间的基和维数 (1) 线性无关; (2)对任意的 可由 线性表示, 则称向量组 为向量空间V的一个基. r称为向量空间V的一个维数,记作 .并称 V为r维向量空间. 零空间没有基,其维数为零. 在 中, 初始单位向量 线性无关, 并且 ,有 所以,向量组 是向量空间 的一个基, 一般称之为 的自然基. 而 . 由于 中任意n+1个n维向量一定线性相关, 所以, 中任意n个线性无关的n维向量 都可以作为 的一个基. 对任一 线性表示 定义3.13 设向量空间V的一个基为 , 对于任一向量 可由 唯一地 坐标. 则数 称为向量 在基 下的 例3.33 设向量 集合 (1)验证L是一个向量空间. (2)求向量空间L的一个基,并求向量 在该基下的坐标. 解 (1)设 ,则有数 和 ,使得 则 即集合L对于向量的线性运算是封闭的.所以 L是一个向量空间. 对于任意的数 ,有 变换,化为简单的阶梯形矩阵: 对A施以初等行 解 (2)设矩阵 , 由此可知, 是向量空间L的一个基, 又 得向量 在基 下的坐标为 即 一般地,由向量组 所生成的向量空 间记为 向量组 的一个极大无关组 就是向量空间L的一个基, 其维数就是向量组 的秩. 表示时的系数, 就是向量 关于基 的坐标. 对任一向量 由基 线性 基,而解空间S的维数 例3.34
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