郭硕鸿《电动力学（第三版）》电子教案-chapter2-3.pptVIP

* 这时只剩下z=c时,?＝V(x,y)的边界条件: (1) 这正是V(x,y)的二重傅立叶展开,系数为 (2) * 如果多变量函数可以分离（以球坐标为例) (2) 拉普拉斯方程可写成 (3)或(4) 左边两项分别仅与r和(?,?)相关，故两项必须是与变量无关的常数，记为?和-?，实现第一次变量分离： * 电势的单值性要求，h(?)应为周期2?的周期函数，于是 * (3)式变成： 作变换：z=cos? * 缔合勒让德方程之解为缔合勒让德函数： (1)式之通解为： 广义义勒让德方程，解是缔合勒让德函数. * 这是在球坐标下，laplace方程解. 整数m,n是本征值，即在边界条件限制下，参数取值的限制. 对于每一组（m,n），其解可称为基本模式，就如同向量空间的基矢，任意向量都可以表示成基矢的线性叠加. 我们这里的解（laplace方程）就构成了一个（无穷维）空间. * * 球壳内外均区域没有电荷分布，可用拉普拉斯方程，电荷仅分布在球壳表面上. 这问题有球对称性 ,电势不依赖于角度,因此可以应用球坐标下方程的解,并且l＝0. 则可设导体壳外和壳内的电势为 * * 均匀电场中置入介电常数为 的介质球，求电场. 介质球在外电场中极化, 在它表面上产生束缚电荷. 这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场E0上, 得总电场E. 边界条件正确地反映这种制约关系. 介质球的存在使空间分为球外区域和球内区域. 两区域内部都没有自由电荷.因此都满足拉普拉斯方程. 分析对称性知道该问题满足轴向对称, 所以 * 边界条件: (1) 无穷远处,总电场趋向外电场, (2) R=0处,电势应有限, * (3) 在介质球面上R0 * 进一步可得介质的极化强度和总电偶极矩 * 导体相当于介电常数无穷的物理意义. 静电常数大介质内部的电场越小，极端情况下内部电场为零，这就与导体一致了. 球外： 球内： * 第二章 静电场 内 容 概 要 1. 直角坐标系下的通解 2. 球坐标系下的通解 3. 柱坐标系下的通解 4. 拉普拉斯方程解的应用 §2.3 分离变量法解拉普拉斯方程 唯一性定理 自由电荷分布在具体的区域内 大部分空间没有自由电荷分布 空间电场 给定电荷分布和边界条件 泊松方程 泊松方程 表面作为求解空间的边界 产生电场的电荷分布在区域的边界上, 其作用通过边界条件反映出来. 这类问题的解法是求解拉普拉斯方程的满足边界条件的解. 拉普拉斯方程 区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部. 在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成： ——拉普拉斯（Laplace）方程 拉普拉斯算符： 直角坐标： 柱坐标： 球坐标： 1. 直角坐标系下的通解 直角坐标中的拉普拉斯方程 x y z ? =V(x,y) ? =0 ? =0 ?=0 x=a y=b z=c 以一个长方盒为例，在(x,y,z)方向上的线度为(a,b,c). 除了z = c 的面上的势等于V(x,y)外,这个盒的所有其他几个面的势都等于零. 需要求的是盒内各处的势. 由下述必要条件：当x = 0, y = 0, z = 0时, ? = 0,容易看出, X, Y, Z必需具有如下形式： 为了确定? 2,? 2,必须对势加上特殊的边界条件. 为使x = a与y = b时, ? = 0,必须有?a = n?, ?b = m? 边界条件z = c时, ? = V(x,y) ——V(x,y)的二重傅里叶展开 如果长方盒所有六个面的势都不等于零,我们就可以通过六个解的线性叠加,得到盒内势的解. 2. 球坐标系下的通解 球坐标中的拉普拉斯方程 ? ? z x y r P 如果多变量函数可以分离： 或 左边两项分别仅与r和(?,?)相关，故两项必须是与变量无关的常数，记为?和-?，实现第一次变量分离： (2)式左边两项分别仅与?和?相关，故为常数，记为?和-?，实现第二次变量分离： 电势的单值性要求，h(?)应为周期2?的周期函数 (4)式通解为 ——缔合勒让德(Legendre)方程 缔合勒让德方程，在 内具有有限解的条件： 缔合勒让德函数： 通解为 球坐标下拉普拉斯方程的通解： 球坐标下拉普拉斯方程的通解： 若系统具有轴对称性，取对称轴为z轴， 勒让德函数 若问题具有球对称性 3. 柱坐标下的通解 二维问题的解： 或写成： 若二维问题又具有轴对称性，则电势与θ无关 一般用于二维问题. 4. 拉普拉斯方程解的应用 分离变量法的解题步骤： ① 根据界面的形状选择适当坐标系. ② 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通解. ③ 写出边界条件和衔接条件(即不同区域分界面 上的边值关系).