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* 第三章 静磁场 本章讨论电磁场的基本理论应用到静磁场的情况,即研究恒定电流激发的磁场. 在恒定电流情况下,电场也同时存在,电源及导线表面上都带有一定的电荷,但由于电场和磁场与时间无关,因而电场和磁场可以分开研究. 根据麦克斯韦方程组,恒定电流激发的磁场满足: 与静电场的标势相对应,静磁场的矢势是一个重要概念. 内 容 概 要 1. 矢势 2. 矢势微分方程 3. 矢势边值关系 4. 静磁场的能量 §3.1 矢势及其微分方程 稳恒电流产生的场—— 静磁场. 1. 矢势 当体系不随时间变化时,电场、磁场可以分离 + 静磁场是无源场,引入另一矢量场 磁场的矢势 通过一个曲面的通量只和边界有关(无源性),这通量可用矢势 对边界L的环量表示(矢势的物理意义). 设S1和S2是两个有共同边界L的曲面,则 这正是 的无源性的表现. 因为是无源的,在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线发出,也没有磁感应线终止, 线连续地通过该区域,因而通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量. 这磁通量由矢势 对S1或S2的边界的环量表示. 矢势 的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量. 只有 的环量才有物理意义,而每点上的值没有直接的物理意义. 矢势不具有唯一性 矢势的不确定性——加上一定的辅助条件(规范). 通过规定矢势的散度来唯一确定矢势: —— 规范条件(库仑规范) 库仑规范是存在的. 若 则选新的矢势: 2. 矢势微分方程 对各向同性、线性介质 若是均匀介质 ——矢量泊松方程(每个分量都是一个泊松方程) 类比静电势,有特解: 矢势取旋度得磁感应强度 ——毕奥-萨伐尔定律 由麦克斯韦方程可得到毕奥-萨伐尔定律. 3. 矢势边值关系 磁场的边值关系 介质2 介质1 矢势的边值关系 介质2 介质1 矢势的边值关系 矢势是连续的 连续 连续 通过在分界面取一个小回路积分可得 用矢势表示 考虑规范条件, 类比于静电场 4. 静磁场的能量 A ?1/r, H ?1/r2,S ?r2,r?? 仅对静磁场成立, 不代表能量密度. o z dz R P ↑I 例1 无穷长直导线载电流I ,求磁场的矢势和磁感应强度. 利用 得 积分是发散的. 计算两点的矢势差值可以免除发散. 设P点到导线的垂直距离为R,电流元 Idz到P点的距离为 解: 若取R0点的矢势为零,计算可得 取 的旋度得磁感应强度 例2 半径为a的导线圆环载电流I,求矢势和磁感应强度. 线圈电流产生的矢势为 y z x P dl R r ? 解: 用球坐标(R,?,?), 由对称性可知 只有?分量, A?只依赖于r, ? , 而与?无关.因此我们可以选定在xz面上的一点P来计算A?, 在该点上A?=Ay. ?为 和 的夹角 式中的积分可用椭圆积分表出. 当 时,可以较简单地算出近似结果. 把根式对2Rasin?cos??/(R2+a2)展开,取至第二项得 此式的适用条件是2Rasin?a2+R2, 包括以下两种重要情形: (1) Ra(远场); (2) sin?1或Ra(近轴场).取 的旋度得磁感应强度 * 第 九 讲 稳恒磁场的矢势 标势 磁多极矩 内 容 概 要 本讲覆盖教材第三章1-3节内容, 请注意阅读教材 1 稳恒电流磁场的矢势 2 矢势微分方程 3 无电流分布区域磁场的标势表示 4 小区域分布电流在外磁场中的相互作用 5 矢势的磁多极矩展开 * 恒定电流磁场的基本方程 (1) 从第二个方程结合矢量分析知道 考虑B对任一个以回路L为边界的曲面S 的磁通量,得 这表明通过一个曲面的通量只和边界有关(无源性),并且这通量可用矢势A对边界L的环量表示(矢势的物理意义). 矢势的物理意义:矢势沿闭合曲线的环量代表通过该回路围成的曲面上的磁通量 * 因为在定义矢势中,只利用了磁场的无旋性,所以矢势具有不唯一性, 因为任何函数梯度的旋度都为零, 有 矢势不是唯一的,若A为B的矢势,则:A+??同样可以为B的矢势,因为任何函数梯度的旋度都为零 A和A+?? 对应同一个磁场.可以通过规定矢势的散度来唯一确定矢势,即令 由于矢势的不确定性,实际上可以对其做出一定的限制,加上一定的辅助条件,或称规范, 其中? 满足方程 [[[因为在定义矢势中,只利用了磁场的无旋性,所以矢势具有不唯一性, 因为任何函数梯度的旋度都为零, 有 A和A+?? 对应同一个磁场.可以通过规定矢势的散度来唯一确定矢势,即令 证明:在所有的可以描述磁场的矢势中,必存在一个矢势A,满
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