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3-4平面上的线性变换.PDF
3-4 平面上的線性變換
◎平面上的線性變換
a b
※線性變換的矩陣表示法: 給了一個二階方陣 A = c d ,則方陣A 將平面上每一點
x =ax +by
P ( x ,y ) 變換到 P ( x ,y ) ,其坐標關係式為 (A)
y =cx +dy
(A)式的右邊是x ,y的一次式, (A)式稱為平面上的線性變換,
x a b x
(A)式亦可用矩陣的乘積表示成 =
y c d y
x
※註 : (1)為了便於運算,點P ( x , y ) 有時看成位置向量 OP =( x , y )或表成行矩陣 y 。
(2)平面上每一個“線性變換都對應唯一的一個二階方陣,所以每一個” “二階方陣A”在變
換的意義下可視為平面上的“線性變換” 。
例題 1
2 1
A = 3 4 ,求坐標軸上的單位點( 1 ,0 ) ,( 0 ,1 ) 在 A變換下的像點
答 : ( 2 ,3 ) ,( 1 ,4 )
例題 2
2 A 4 5 A 7
求一個線性變換A使得 ─→ -2 , ─→ ,並求點P ( 4 ,-2 ) 在 A變
1 3 1
換下的像點P 。
5 -6
答 : A= 。(ii) P( 32 ,-52 ) 。
-7 12
98
a b p 1 q1
※線性變換的基本性質:設 A = c d 是平面上的線性變換,P = p 2 ,Q = q2 是
相異兩個點,則
(1) A 恆將原點 O變換到原點 O 。
(2) A ( rP +s Q ) =r ( AP ) +s ( AQ ) 。( r ,s R )
(3) 若 det ( A )≠0 ,則A 將直線L變換到直線 L 。
證明: (1)顯然成立。 ( 前面談過 )
(2)由矩陣乘法性質
A ( rP +sQ ) =A ( rP ) +A ( sQ ) ( 分配律 )
=r ( AP ) +s ( AQ ) 。
(3) 假設 P ,Q在直線 L 上。L 上任一點X 恆可寫成
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