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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(16-11):矩形区域(412) 1061 矩形区域 [母题]Ⅰ(16-11):不等式|ax+by|+|ax-by|≤2kab(a0,b0,k0)表示的平面区域的面积为 . [解析]:我们先研究|ax+by|+|ax-by|=2kab表示的曲线: y l2:ax-by=0 ①当ax+by≥0,ax-by≥0时,|ax+by|+|ax-by|=2kabx C B =kb表示线段AB,其中A(kb,-ka),B(kb,ka);②当ax+by≥ O x 0,ax-by≤0时,|ax+by|+|ax-by|=2kaby=ka表示线段 D A BC,其中,C(-kb,ka);③当ax+by≤0,ax-by≤0时,|ax+by| l1:ax+by=0 +|ax-by|=2kabx=-kb表示线段CD,其中D(-kb,-ka);④当ax+by≤0,ax-by≥0时,|ax+by|+|ax-by|=2kaby=-ka表示线段DA曲线是矩形ABCD满足|ax+by|+|ax-by|≤2kab的区域是矩形ABCD及其内部面积=4k2ab. [点评]:用不等式|ax+by|+|ax-by|≤2kab(a0,b0,k0)表示矩形区域ABCD,即用方程|ax+by|+|ax-by|=2kab(a0,b 0,k0)表示矩形ABCD最早出现于2004年安徽春招试题中(见[母题]Ⅰ(17-01)中的子题10),该区域约束条件简单优美,且有很好的几何意义:矩形ABCD边界上任意一点到直线l1:ax+by=0与l2:ax-by=0的距离之和为定值=.因此,矩形区域ABCD势必将成为高考母题. [子题](1):(原创题)设变量x,y满足|x+y|+|x-y|≤2,则x+2y的最大值和最小值分别为( ) (A)1,-1 (B)3,-3 (C)1,-3 (D)3,-1 [解析]:约束条件对应正方形ABCD边际及内的区域,其中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1);①当(x,y)=(1,1)时,x+ 2y=3;②当(x,y)=(-1,1)时,x+2y=1;③当(x,y)=(-1,-1)时,x+2y=-3;④当(x,y)=(1,-1)时,x+2y=-1.综上,x+2y的最大值和最小值分别为3,-3.故选(B). 注:由于母题中的矩形区域是封闭区域,因此,极易构造目标函数的最值(或值域)问题. [子题](2):(原创题)已知点P(x,y)到直线l1:4x+3y=0与l2:4x-3y=0的距离分别为a,b,若|4x+3y|+|4x-3y|≤10,则+的最小值是 . [解析]:由|4x+3y|+|4x-3y|≤10+≤2a+b≤2+≥(a+b)(+)=(2++)≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立+的最小值是2. 注:母题中的矩形区域所具有的绝妙性质:矩形区域ABCD内任意一点到直线l1:ax+by=0与l2:ax-by=0的距离之和的最大值=.将是高考命题的一个生长点. [子题](3):(1994年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,方程=1(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是( ) y B (A)三角形 (B)正方形 C (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 O x