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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-19):椭圆与双曲线的基本图(437) 1129 椭圆与双曲线的基本图 [母题]Ⅰ(18-19):在双曲线(a,b0)中,左、右焦点分别为F1、F2,若点A、B在双曲线的右支上, =λ,且AB的倾斜角为α,则:①cosα=;②|AF2|=,|BF2|=;③=α. [解析]:如图,设双曲线的右准线为l1,分别A、B过点作直线l的垂线垂足分别为、点, 作BH⊥A于H点,设||=m由=λ|AF2|=λm,由双曲线的第二定义知|A|= |AF2|=,|B|=|BF2|=|AH|=|A|-|B|=,|AB|=|AF2|+|BF2|=(λ+1)m, 由∠AF2x=α∠BAH=αcosα==;又由=cosα(其中d是点F2到右准线l的距离=)|AF2| -=|AF2|cosα|AF2|=,|BF2|==sinα. [点评]:同理可得:在椭圆(ab0)中,左、右焦点分别为F1、F2,若点A、B在椭圆上,,且直线AB的倾斜角为α,则:①cosα=;②|AF1|=,|AF2|=;③=α.以上结论简单优美,高考重复多次以不同形式进行考查,该题是高考的典型母题. [子题](1):(2010年全国Ⅰ高考试题)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为 . [解析]:设∠BFO=θ,在Rt△BFO中,cosθ==e;又由cosθ=,λ=2cosθ=e=e=. 注:由双曲线基本图可产生有三类问题:①已知α,e,求λ;②已知λ,e,求α;③已知α,λ,求e.本题是第三类问题. [子题](2):(2009年全国Ⅱ高考试题)己知双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C 于A、B两点.若,则C的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:由斜率为倾斜角α=600,由cosθ==(由λ=4)e=.故选(A). 注: 由椭圆基本图可产生有三类问题:①已知α,e,求λ;②已知λ,e,求α;③已知α,λ,求e.本题是第三类问题. 圆M与l的位置 相离 相切 相交 G是何种曲线 [子题](3):(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)圆锥曲线G的一个焦点是F,与之对应的准线是l,过F作直线与G交于A、B两点,以AB为直径作圆M, 圆M与l的位置关系决定G是何种曲线之间的关系是: [解析]:在双曲线中,如基本图,则2|M|=|A|+|B|= |AF2|+|BF2|=|AB||AB||M||AB|,即圆心M到准线的距离圆M的半径圆M与l相交;同理可得:在椭圆中,圆M与l相离,在抛物线中,圆M与l相切. 1130 [母题]Ⅰ(17-19):椭圆与双曲线的基本图(437) 注:圆锥曲线C的焦点F对应的准线是l,以过F的焦点弦为直径的圆M,则:①圆M与l相交C是双曲线;②圆M与l相切C是抛物线;③圆M与l相离C是椭圆. [子题系列]: 1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A、B两点,若|AF|:|BF|=2:3,且直线与长轴的夹角为,则椭圆的离心率为 . 2.(2002年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过椭圆的一个焦点F作与椭圆长轴的夹角为arccos的直线交椭圆于A、B两点若?3,那么椭圆的离心率等于(高二)试题)已知椭圆C:=1(ab0),过左焦点F,并且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,若,则椭圆的离心率等于 . 5.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若,则 (C) (D)2 6.(2011年浙江高考试题)设F1,F2分别为椭圆+y2=1的焦点,点A,B在椭圆上,若=5.则点A的坐标是 . 7.(2012年全国高中数学联赛河北预赛试题)过椭圆+y2=1的右焦点F2作倾斜角为450弦AB,则|AB|为 . 8.(1998年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知