2013华约自主招生数学试题及答案详解.doc

2013“华约”自主招生试题 2013-03-16 (时间90分钟,满分100分) 1.(10分)集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)中两位数有多少？三位数有多少？ (2)中是否有五位数？六位数？ (3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少？ 【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成. (1)两位数有个; 三位数有个; (2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数; (3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012. 2.(15分),,求与的值 【解】由……①,……②,平方相加得; 另一方面由①可得……③ 由②式可得……④,由③/④式得, 也所以即求. 3.点在上,点在上,其中,,且在轴同侧. (1)求中点的轨迹; (2)曲线与相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设,, 则, 由得,,显然, 于是得,于是中点的轨迹是焦点为,实轴长为2的双曲线. (2)将与联立得, 由曲线与抛物线相切,故,即, 所以方程可化为,即切点的纵从标均为,代入曲线得 横坐标为即求.因此切点分别在定直线上, 两切点为,又因为,于是 在处的切线方程为,即; 同理在处的切线方程为. 4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球. (1)求取出的球中恰有1个是红球的概率; (2)求所取出球中黑球个数的分布列及期望; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率; 【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为; (2)易知的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,, ,,, 0 1 2 3 4 ,即的分布列为: 所以其数学期望为 (事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为即求. 5. (15分)数列均为正数,且对任意满足为常数). (1) 求证:对任意正数,存在,当时有; (2)设,是数列的前项和,求证:对任意,存在,当时,. 【证明】:(1)因为对任意的满足,所以,又因为, 所以, 所以 故对任意的正整数,存在,当时有; (注:表示不超过的最大正整数.) (2)由可得,, 所以; 也所以,即 且由(1)知,所以, 即对任意,存在,当时,有. 6. (15分)已知是互不相等的正整数,,求. 【解】本题等价于求使为整数的正整数,由于是互不相等的正整数,因此,不失一般性不妨设,则,于是,结合为正整数,故, 当时,,即,于是,所以, 但另一方面,且为正整数,所以矛盾,不合题意. 所以,此时,于是,即, 也所以,所以,又因为,所以; 于是,所以,即,又因为,所以, 经检验符合题意,于是符合题意的正整数有 =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2) 注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同. 7. (15分)已知 求证:(1)当,; (2)数列满足,求证:数列单调递减且. 【解】(1)当时,,所以在上递减,所以. (2)由得,结合,及对任意,利用数学归纳法易得对任意正整数成立,由(1)知,即, 即,因为,所以,即,所以数列递减, 下面证明,用数学归纳法证,设,则, 由(1)知当时,,即,故在递增,由归纳假设 得,要证明只需证明,即, 故只需证明,考虑函数,因为当时, 所以,故在上递增,又, 所以,即,由归纳法知,对任意正整数成立. 注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.