2014考研不定积分经典例题.docx

例1．計算 解法1而 所以解法2解法3由拼接法可有例2.求 解 将被积函数化为简单的部分分式两边同乘以，约去的因子后令得 两边同乘以，对求导，再令，施以上运算后，右端得A,而左端为 在分解式（*）中令得所以分解式（*）两边同乘以，再令得故有例3. 求 解 令 再用部分分式，則两边乘以再令得两边乘以再令得两边乘以再令得令例4 例5.求 解 令 则例6 例7 例8 例9． 例10． 例 11例12． 求 其中解 由配方得，令则有原式例13．求解 解上面的联立方程可得出例14． 计算例15． 例16． 求 解 令例17．设有一个原函数求解 用分部积分法有代入（*）有，即 例18．求解 被积函数的分子是的线性组合，故有于是例19．求 解 例20．例21．例22．例23．例24．例25．例26．例27．例28．例29.例30. 例31 例32.例33.例34．例35．例36．例37例38．例39．例40．例41．例42．例43．例44．（令）例45．（先约分，分子加一减一）例46．例47．例48．例49．例50．例51．（分项分部积分）例52．求例53．求 解 令利用原函数的连续性，有从而解出例54、计算下列积分：（1）（2）（3）分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间上有利用定积分的区间可加性和N-L进行计算. 解（1）将被积函数变形为= =. （2）将被积函数变形为再利用积分公式和积分运算性质得 =(3). 说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解. 例55、计算下列积分：（1）； （2）（3）（4）分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量, 设法将对求积分转化为对求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”. （1）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, , 这时对于变量可以利用公式求积分. （2）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 这样对于变量可以利用积分公式求积分. （3）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 这样对于变量可以利用积分公式求积分. （4）将被积函数分解成即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为, 其中, 解 （1）= = （2） （） =（3）[方法1]换元换限. 令, 则, 且当时, , 时, , 于是有[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限. (4)因为=对于积分对于积分用凑微分法, [方法1] 令, 则, 且当时, , 时, , 于是有[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.故例6计算下列积分：（1）； （2）；（3）分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为, 即, 使积分变为；2．代公式, , 计算出3．计算积分. 在定积分的分部积分公式是, 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质. 解（1）设, 则, 由分部积分公式有(2)设, 则,由定积分分部积分公式有（3）因为, 利用积分区间的可加性得到其中第一个积分为第二个积分为, 最后结果为. 例56、计算下列无穷限积分：（1）； （2）；（3）分析 对于无穷限积分的求解步骤为：（1）求常义定积分；（2）计算极限极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值. 解 （1） =（2）(3)说明此无穷积分发散.