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20用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题
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高考数学母题
[母题]Ⅰ(18-20):用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题(508) 1297
用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题
[母题]Ⅰ(18-20):(2000年全国高考试题)过抛物线y=ax2(a0)的焦点为F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于( ) (A)2a (B) (C)4a (D)
[解析]:以焦点F为极点,以Fy轴为极轴建立极坐标系,则抛物线的极坐标方程为:ρ=(其
中,p=);若p=,则q====4a.故选(C).
[点评]:圆锥曲线焦点弦问题是圆锥曲线的“焦点问题”,也是高考经常性的“焦点访谈”;极坐标的引入为解决该“焦点问题”提供了有力工具.
[子题](1):(2012年安徽高考试题)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为 .
[解析]:以焦点F为极点,以Fx轴为极轴建立极坐标系,则抛物线的极坐标方程为:ρ=;由|AF|=
3=3cosθ=|BF|===,sinθ=S△AOB=|OF|(|AF|+|BF|)sinθ=.
注:对抛物线为使其极坐标方程简单、统一,应以焦点F为极点,对称轴为极轴建立极坐标系.
[子题](2):(2010年全国Ⅰ高考试题)已知是椭圆的一个焦点是短轴的一个端点线段的延长线交于点且,则的离心率为椭圆的;由|BF|=a=acosθ=-|FD|===;
由=2a=2e=.
注:以椭圆C的右焦点F为极点,以Fx轴为极轴建立极坐标系,则椭圆C的极坐标方程为:ρ=.
[子题](3):(2009年全国Ⅱ高考试题)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为过且斜率为的直线交于两点若,则的离心率为 (B) (C) (D)
[解析]:以F为极点,Fx为极轴,建立极坐标系,则双曲线的,由
k=|AF|=,|BF|=;由=4=e=.故选(A).
注:以双曲线C的右焦点F为极点,以Fx轴为极轴建立极坐标系,则双曲线C的极坐标方程为:ρ=.
1298 [母题]Ⅰ(18-20):用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题(508)
[子题系列]:
1.(2012年安徽高考试题)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O是原点,若|AF|=3,则|BF|= .
2.(2010年重庆高考试题)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为 .
3.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若,则 (C) (D)2
4.(2009年全国Ⅰ高考试题)已知椭圆+y2=1的右焦点为右准线为点线段交于点若,
则|=( ) (A) (B)2 (C) (D)3
5.(2007年重庆高考试题)过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为1050的直线,交双曲线于P、Q两点,则|FP||FQ|的值为 .
6.(2008年四川高考试题)已知双曲线C:-=1的左右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则ΔPF1F2的面积等于( ) (A)24 (B)36 (C)48 (D)96
[子题详解]:
1.解:以焦点F为极点,以Fx轴为极轴建立极坐标系,则抛物线的极坐标方程为:ρ=;由|AF|=3=3cosθ=|BF|===.
2.解:以焦点F为极点,以Fx轴为极轴建立极坐标系,则抛物线的极坐标方程为:ρ=;若|AF|=,则|BF|=
=;由=3=3cosθ=距离=(|AF|+|BF|)=.
3.解:以焦点F为极点,以Fx轴为极轴建立极坐标系,则椭圆;由|AF|=|BF|=
=;由=3=3cosθ=-=-=-k=-tanθ=.故选(B).
4.解:以焦点F为极点,以Fx轴为极轴建立极坐标系,则椭圆;由|BF|=,|AF|=
;
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