27关注数列裂项求和经典模型的应用.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 关注数列裂项求和经典模型的应用 一类数列求和不等式的母题 裂项求和的经典模型的重要作用是证明一类数列求和不等式,为揭示该类数列求和不等式的本质,特构造母题如下. [母题结构]:己知{an}(an≠0)是公差为d(d≠0)的正项等差数列,数列{}的前n项和Sn,则Sn,且对一切正整数n,f(t)Snf(t)≥. [母题解析]:由=(-)Sn=(-)Sn,且对一切正整数n,f(t)Snf(t)(- )f(t)≥. 1.直接应用 子题类型Ⅰ:(2008年江西高考试题)数列为等差数列为正整数其前项和为数列为等比数列且数列}是公比为64的等比数列求++…+. [解析]:(Ⅰ)设{an}的公差为d(d为正整数),{bn}的公比为q,则an=3+(n-1)d,bn=qn-1,由qd=64,(6+d)q=64d=2,q=8an =2n+1,bn=8n-1; (Ⅱ)由Sn=n(n+2)=(-)++? =[(1-)+(-)+?(=-)]=(1+-- )=-. [点评]:由=(-)数列{}的前n项和Sn=(+--)(+). 2.典型放缩 子题类型Ⅱ:(2013年广东高考理科试题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*. (Ⅰ)求a2的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n,有++…+. [解析]:(Ⅰ)由=an+1-n2-n-,令n=1得:2a1=a2-2a2=4; (Ⅱ)由=an+1-n2-n-Sn=-n(n+1)(n+2)an+1=Sn+1-Sn=--(n+1)(n+2)-= 1,且a1,a2适合该式=nan=n2; (Ⅲ)当n1时,=(-)++?=1+[(1-)+(-)+?(2-)]=1+(1+- -)1+(1+)=. [点评]:关于有下列放缩公式:-(-);-2(-)等. 3.放缩思想 子题类型Ⅲ:(2011年天津高考试题)已知数列与满足,n∈N*,且求的值设证明是等比数列设证明. [解析]:(Ⅰ)a3=-3,a4=-5,a5=4; (Ⅱ)由b2n=2,b2n-1=1及bnan+an+1+bn+2an+2=0a2n-1+a2n+2a2n+1=0,2a2n+a2n+1+a2n+2=0,a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0a2n=a2n+3a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+ a2n+1)cn+1=-cn{cn}是等比数列由()得-=1-=-1=-(k+1)a2k-1=(k+1)(-1)k+1;由a2n=a2n+3 a2k=(k+3)(-1)k+1S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3=)= --+)=+]=+++ +=+(-)+=-. [点评]:利用经典模型证明:aSnb(其中,Sn是数列{}的前n项和)的关键是构造等差数列{an}与{bn},使得bnbn+m≤f(n)≤anan+k. 4.子题系列: 1.(2013年广东高考文科试题)设各项均为正数的数列前和为满足等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数有+…+. 2.(2008年辽宁高考试题)在数列中且成等差数列成等比数列求及由此猜测的通项公式并证明你的结论;证明++…+. 3.(2013年江西高考试题)正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对任意的n∈N+,都有Tn. 4.(2014年广东高考试题)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (Ⅰ)求a1的值; (Ⅱ)数列{an}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n,有++…+. 5.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n=2,3,4,…). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:对一切n∈N*,有. 6.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{an}满足a1=,an+1=an+(n∈N*).证明:对一切n∈N*,有 (Ⅰ)anan+11; (Ⅱ)an-. 7.(2006年湖北高考试题)已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=,Tn是数