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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-46):能割善补(360) 935 能割善补 [母题]Ⅰ(14-46):(2007年江西高考试题)如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面) 被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=l.∠AlBlC1=900,AAl=4,BBl=2,CCl=3.则此 几何体的体积V= . [解析]:(法一)如图,过B作截面BA2C2∥平面A1B1C1,分别交AA1,CC1于A2,C2,作BH⊥A2C2于H, 则AA2=2,CC2=1,A2C2=A1C1=直角梯形AA2C2C的面积=;BH=V=三棱柱A1B1C1-BA2C2 的体积+四棱锥B-AA2C2C的体积=1+=; (法二)过A作平面AMN∥平面A1B1C1,分别交B1B,C1C于M,N,则BM=2,CN=1,MN=B1C1=1直角梯 形BMNC的面积=四棱锥A-BMNC的体积=V=三棱柱A1B1C1-AMN的体积-四棱锥A-BMNC的体积=2-=. [点评]:我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体,称为不规则几何体.求不规则几何体体积的 常用方法是割补法,即通过分割或补形,将它变成规则的几何体,再求体积;能割善补是求不规.则几何体体积的基本方法. [子题](1):(2009年安徽高考试题)如图,ABCD是边长为2的正方形,直线l与 平面ABCD平行,E和F是l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC.E和F是平面ABCD内 的两点,EE和FF都与平面ABCD垂直.若∠EAD=∠EAB=600,EF=2,则多面体ABCDEF的 体积= . [解析]:(法一)如图,设AD中点为M,由EA=ED,∠EAD=600EA=ADEA=AB,又∠EAB= 600EA=EB四棱锥E-ABCD是正四棱锥,四面体E-BCF是正四面体多面体ABCDEF 可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF两部分,且MEˊ=1,EM=EEˊ= VE-ABCD=,VBCEF=多面体ABCDEF的体积=+=2. (法二)过E点作MN∥AD,分别交直线AB、CD于点M、N,过F点作SK∥AD分别交直线AB、CD于点S、K,则多面体ABCDEF被分割为一个直三棱柱EMN-FSK和两个四棱锥E-ADNM、F-BCKS,由此求解; (法三)作平面ADP⊥平面ABCD交直线l于点P,作平面FMN∥平面ADP交平面ABCD于直线MN,则多面体ABCDEF被补形为一个直三棱柱PAD-FMN,由此求解. 注:切割法的手段是利用截面进行切割,目标是切割成规则几何体. [子题](2):(2005年上海交通大学保送生考试试题)将3个12cm×12cm的 图Ⅰ 图Ⅱ 正方形沿邻边中点剪开,分成两部分,如图Ⅰ,将这6部分接于一个边长为6的正六边形上,如图Ⅱ,若拼接后的图 形是一个多面体的表面展开图,则这个多面体的体积等于 . [解析]:本题源自于:(2003年第14届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三个12cm×12cm的 正方形的纸都被连接两邻边中点的直线分成两片,把这6片粘在一个正六边形的外面,然后折 成一个多面体,则这个多面体的体积等于 cm3. 构造正方体ABCD-A1B1C1D1模型如图,则拼接后的多面体是正方体中的多面体BCDQPNMRC1, 其体积是正方体体积的一半,又因该正方体的棱长为12该多面体的体积等于964(cm3). 注:补形法的基本思想是把不规则的几何体放置到规则的几何体中. 936 [母题]Ⅰ(14-46):能割善补(360) [子题](3):(2005年全国Ⅰ高考试题)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长 为1的正方形,且ΔADE、ΔBCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:如图,把多面体ABCDEF放置到正方体中,由图知,该多面体的体积=棱长为2的