4参数方程与普通方程互化.doc

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(18-04):参数方程与普通方程互化(492) 1255 参数方程与普通方程互化 [母题]Ⅰ(18-04):(1989年广东高考试题)(理)设圆C的方程为x2+y2-2x()-2ytan+()2=0,式子中θ是实数且0θπ. (Ⅰ)当θ在区间(0,π)内变动时,求圆的圆心轨迹的普通方程; (Ⅱ)设θ1,θ2,θ3都是区间(0,π)内的实数,且θ1,θ2,θ3成公差不为0的等差数列.当θ依次取值θ1,θ2,θ3时,所对应的圆C的半径依次为r1,r2,r3,试问r1,r2,r3是否成等比数列？为什么？ [解析]:由x2+y2-2x()-2ytan+()2=0(x-)2+(y-tan)2=tan2圆心P(,tan),半径r=tan;(Ⅰ)设圆心P(x,y),则x=,y=tan;由x==tan2=y2圆心轨迹方程:y2=x(y0); (Ⅱ)由θ1,θ2,θ3成等差数列,不妨设θ1=θ2-α,θ3=θ2+α,α∈(0,π);假设r1,r2,r3成等比数列,则r1r3=r22tan tan=tan2tan(-)tan(+)=tan2tan=1当且仅当θ2=时,r1,r2,r3成等比数列. [点评]:曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形,具有一一对应关系(参数给定),自然产生如下三个方面的问题:①参数方程化成普通方程;②普通方程化成参数方程;③参数方程化成普通方程的解题功能. [子题](1):(2009年江苏高考试题)己知曲线C的参数方程为(t为参数,t0)求曲线C的普通方程. [解析]:由x=-x2=t+-2x2=-2y=x2+6曲线C的普通方程:y=x2+6. 注:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法;常见的消参方法有:代入消参、加减消参、平方和(差)消参、乘法消参、混合消参法等. [子题](2):(1991年上海高考试题)下列参数方程(t为参数)中与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:由x的取值范围是R,排除(A)(B);把x=tant代入x2-y=0得y=tan2t==.故选(D). 注:如果已知普通方程中x,y的一个与参数t的关系,如x=f(t),代入普通方程可得y=g(t),即得参数方程;值得指出的是:由x=f(t)与普通方程求y时,必须是等价求解,保持y取值范围的一致性; [子题](3):(2009年宁夏、海南高考试题)己知曲线C1:(t为参数),曲线C2:(θ为参数). (Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别是什么曲线; (Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. [解析]:(Ⅰ)曲线C1是以点M(-4,3)为圆心,半径为1的圆;曲线C2是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆; 1256 [母题]Ⅰ(18-04):参数方程与普通方程互化(492) (Ⅱ)当t=时,M(-2+4cosθ,2+sinθ)点M到直线C3的距离d=≥. 注:解决参数方程问题的基本方法是转化为普通方程,此时要特别注意参数的取值范围,确保两曲线方程等价. [子题系列]: 1.(2011年广东高考试题)已知两曲线参数方程分别为(0≤θπ)和(t∈R),它们的交点坐标为 . 解:由C1:+y2=1(0≤y≤1),C2:y2=x;交点为(1,). 2.(2012年广东高考试题)在平面直角坐标系xOy中曲线C1和C2的参数方程分别为和则曲线C1与C2的交点坐标为t2+()2=2t=1交点(t为参数),圆C的参数方程为(θ为常数). (Ⅰ)求直线l和圆C的普通方程;(Ⅱ)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围. 解:(Ⅰ)直线l:2x-y-2a=0,圆C:x2+y2=16;(Ⅱ)由d=≤4a∈[-2,2]. 4.(2013年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中直线l的参数方程为(t为参数)曲线C的参数方程为(θ为参数)试求直线l和曲线C的普通方程并求出它们的公共点的坐标直线l曲线C公共