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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-61):组合等式(583) 1471 组合等式 [母题]Ⅰ(20-61):(范德蒙等式)求证:=Cn+mk. [解析]:(法一)构造模型:求二项式(1+x)n+m的展开式中xk的系数;一方面,由(1+x)n+m的展开式的通项Tk+1=Cn+mkxkxk的系数=Cn+mk;另一方面,由(1+x)n+m=(1+x)n(1+x)m,由(1+x)n的展开式的通项Tk+1=Cnkxkxk的系数=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0Cn0Cmk+ Cn1Cmk-1+…+CnkCm0=Cn+mk. (法二)构造模型:袋中装有n个白球和m个黑球,从中任意摸出k个球,共有多少种摸法?从装有n个白球和m个黑球的袋子中随机摸出k个球的方法为Cn+mk;摸出的球又可以按颜色分类,即摸出0个白球和k个黑球、1个白球和k-1个黑球、…、直至k个白球和0个黑球,故不同的摸法为Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0=Cn+mk. [点评]:组合恒等式是组合数学的一个重要部分,在数学的各个分支中都有广泛应用,证明方法多种多样,具有很强的灵活性;常用方法:①性质法:利用组合数的基本性质;②二项式法:通过对二项式展开式进行变形(求导,或积分),然后赋值(含复数);③模型法:构造组合模型,并对某同一个计数问题利用两种方法计算. [子题](1):(2008年中国科技大学保送生考试试题)求证:Cnk=C20Cn-2k+C21Cn-2k-1+C22Cn-2k-2. [解析]:(法一)C20Cn-2k+C21Cn-2k-1+C22Cn-2k-2=+2+=[(n-k)(n-k-1)+2k(n -k)+k(k-1)]=(n-1)n==Cnk; (法二)由Cn-1k-1+Cn-1k=CnkC20Cn-2k+C21Cn-2k-1+C22Cn-2k-2=(Cn-2k+Cn-2k-1)+(Cn-2k-1+Cn-2k-2)=Cn-1k+Cn-1k-1=Cnk; 注:性质法:利用组合数的性质是证明组合恒等式的基本方法,其中,Cn-1k-1+Cn-1k=Cnk和kCnk=nCn-1k-1是常用的. [子题](2):(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)2Cnk-3nCnk+n2Cnk= . [解析]:因(1+x)n=Cn0+xCn1+x2Cn2+…+xkCnk+…+xnCnnn(1+x)n-1=Cn1+2xCn2+…+kxk-1Cnk+…+nxn-1Cnnn(n-1)(1+x)n-2=2Cn2+…+ k(k-xk-2Cnk+…+n(n-1)xn-2CnnCn1+2Cn2+…+kCnk+…+nCnn=n×2n-1,2×(2-1)Cn2+…+k(k-1)Cnk+?n(n-1)Cnn=n(n-1)?n-21k 12Cn1+22Cn2+?k2Cnk+?n2Cnn=n(n-1)?n-2+n?n-1=n(n+1)?n-2n(n-12Cnk=2nCn-1k-1=2nCn-1k-1=2n[Cn-1k-1 +Cn-1k-1]=2n[(n-1)n?n-3+2?n-1)2n-2-2n-1]=2n2(n+3)?n-3n-22Cnk-3nCnk+n2Cnk=2n2(n+3)?n-3-3n譶(n+1)?n-2+n2譶?n-1=0. n+3)?注:二项式法:证明组合恒等式的步骤是先对(ax+b)n的展开式进行变形(求导,或积分,或两式相乘等),然后对取特殊值代入,得到所需证明的等式. [子题](3):(2006年复旦大学保送生考试试题)求证:(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2=C2nn. [解析]:(法一)构造模型:求二项式(1+x)2n的展开式中xn的系数;一方面:由(1+x)2n的展开式的通项Tk+1=C2nkxkxn的系数=C2nn;另一方面:由(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n,由(1+x)n的展开式的通项Tk+1=Cnkxkxn的系数=Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+…+CnnCn0=(Cn0)2+(Cn1)2 +…+(Cnn)2(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2=C2nn. (法二)构造模型:袋中装有n个白球和n个黑球,从中任意摸出n个