65 弦截法与抛物线法.ppt

7.5 弦截法与抛物线法 7.5.1 弦截法 7.5.2 抛物线法 当函数 比较复杂时，计算 往往较困难， 值 的计算. 为此可以利用已求函数值 来回避导数 还要算 . 用牛顿法求方程 的根，每步除计算 外， 设 是 的近似根， 利用 构造一次插值多项式 ，并用 的根作为新的 近似根 . （5.1） 由于 因此有 （5.2） （5.2）可以看作将牛顿公式 中的导数 用差商 取代的结果. 接着讨论几何意义. 曲线 上横坐标为 的点分别记为 ， 则弦线 的斜率等于差商值 , 按（5.2)式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标. 表7-5 这种算法因此而称为弦截法. 其方程为 而弦截法（5.2），在求 时要用到前面两步的结果 ， 弦截法与切线法（牛顿法）都是线性化方法，但两者 有本质的区别. 切线法在计算 时只用到前一步的值 . 因此使用这种方法必须先给出两个开始值 . 例10 解 用弦截法解方程 设取 作为 开始值， 用弦截法求得的结果见表7-8， 实际上，弦截法具有超线性的收敛性. 比较例7牛顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也是相当快的. 定理6 这里 是方程 的正根. 假设 在根 的邻域 内 且对任意 有 ， 具有二阶连续导数， 那么当邻域Δ充分小时， 又初值 阶收敛到根 . 弦截法（5.2）将按 设已知方程 的三个近似根 ， 几何上，这种方法的基本思想 是用抛物线与 轴的交点 作为 所求根 的近似位置（图7-6). 图7-6 以这三点为节点构造二次插值多项式 , 的一个零点 作为新的近似根， 并适当选取 这样确定的迭代过程称为抛 物线法，也称密勒（Müller）法. 插值多项式 有两个零点： （5.3） 式中 问题是该如何确定 . 假定在 三个近似根中， 更接近所求的根 . 为了保证精度，选（5.3）中较接近 的一个值作为新的近似根 . 为此，只要取根式前的符号与 的符号相同. 例11 用抛物线法求解方程 解 设用表7-8的前三个值 作为开始值，计算得 故 代入（5.3）式求得 以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快. 在一定条件下可以证明，对于抛物线法，迭代误差有 下列渐近关系式