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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(19-06):数字分析(515) 1315 数字分析 [母题]Ⅰ(19-06):(2009年上海高考试题)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( ) (A)甲地:总体均值为3,中位数为4 (B)乙地:总体均值为1,总体方差大于0 (C)丙地:中位数为2,众数为3 (D)丁地:总体均值为2,总体方差为3 [解析]:(法一)甲地:总体均值为3,中位数为4,可能有:0,0,0,0,4,4,4,4,4,10.故甲不符合;乙地:总体均值为1,总体方差大于0,可能有:0,0,0,0,0,0,0,0,2,8.故乙不符合;丙地:中位数为2,众数为3,可能有:0,0,1,1,2,2,3,3,3,8.故丙不符合.故选(D). (法二)不妨设连续10天,每天新增疑似病例分别为a1,a2,…,a10(人),且a1≤a2≤…≤a10,并假设a10≥8,对于丁地:总体均值为2a1+a2+…+a10=20a1+a2+…+a9≤12a1,a2,…,a9至多有6个2,至少有3个小于或等于1,即a1≤a2≤a3≤1(a1- 2)2+(a2-2)2+(a3-2)2+(a10-2)2≥3+62=39丁地总体方差≥3.9,与丁地总体方差为3矛盾,故选(D). [点评]:数字分析就是根据样本中的特征数去分析样本数据的基本特性,为此需掌握特征数所表达的统计意义:中位数作为一组数据的代表,用于描述数据的集中趋势;平均数作为一组数据的代表,用于描述数据的平均大小、集中趋势;极差反映一组数据的变化范围,极差大,则数据分散,数据波动性大;极差小,则数据相对集中,数据波动性小;方差和标准差都是刻画该组数据的离散程度和波动程度的量.一组数据的方差或标准差越大,说明这组数据越分散;反之,数据越集中在平均数的附近.方差的单位是数据单位的平方,而标准差的单位与数据单位相同.因此,标准差更能有效的刻画数据的离散程度. [子题](1):(2012年山东高考试题)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样 本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( ) (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 [解析]:设一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,则这组数据的方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(xn-)2];数据x1+ a,x2+a,…,xn+a的平均数=[(x1+a)+(x2+a)+…+(xn+a)]=+a方差S2=[(x1+a-)2+(x2+a-)2+?(xn+a-a)2]= [(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+?(xn- EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT )2]=s2S=s,即标准差相同.故选(D). 注:本题的实质是考查方差(标准差)的基本性质:“样本数据中的毎个数同时加上同一个数不改变样本的方差(标准差)”.上述解法,给出了这个性质的严格证明. [子题](2):(2007年宁夏、海南高考试题)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表:S1、S2、S3分别表示甲、乙、丙三名运动员 这次测试成绩的标准差,则有( ) (A)S3S1S2 (B)S2S1S3 (C)S1S2S3 (D)S2S3S1 [解析]:把甲、乙、丙的环数都减去8.5,得: 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 -1.5 -0.5 0.5 -1.5 环数 -1.5 -0.5 0.5 1.5 环数 -1.5 -0.5 0.5 1.5 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4