zt专题一求极限的方法.docVIP

专题一 关于求极限的方法 极限概念、方法是数学分析中的基本工具，关于导数、定积分和级数等概念的引进都和极限紧密相关，而这些概念的引进又充实了求极限的方法。 问题1：求极限的方法常用的有哪些方法？ 答：求极限的常用方法主要有： 代值法。若是初等函数，是其定义域内一点，则； 利用四则运算法则求极限，其前提是：有限个各自极限存在，分母极限不为0，若不具备这些条件则要进行变形或用洛必达法则求。 利用等价无穷小代换，简化极限的计算。 利用两个重要极限公式，首先要对被求式进行恒等变形，使之化为两个重要极限公式的标准形式，在套公式。 利用两个极限存在准则求极限。用夹逼准则的关键在于构造左右两边具有同一极限的双向夹逼不等式，适当放大或缩小。 利用洛必达法则求极限。 问题2：利用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限的具体内容是什么？其中的注意事项有哪些？请举例说明。 答：利用极限的四侧运算与幂指数运算法则求极限的基本理论为： 定理1 : （1）设 ，，则， ；，； （2) 设,当时,有界，则 ； （3) 设,或,则 . （4)设当时, 有界，则 注:1.对等各类未定式不能直接用上面的方法,在未定式中最基本的是与型,其他类型应经地过恒等变形转化为基本型之一. 求或型极限的方法有多种:一种技巧是设法消去分子,分母中极限为0或的因子,转化为可运用四则法则的情形型. 2.若，不存在也不为,则 ，,均不存在也不为,但是,当,都不存在也不为时,求的极限均要作具体分析. 例1 设求 . 解:分子,分母同除以得: . 例2:. 解: . 例3:求. 解: 而，. 例4 解:分子,分母同乘于是: 原式 . 问题3：利用洛必达法则求未定式的极限的具体内容是什么？其中的注意事项有哪些？请举例说明。 答：求 或型未定式的常用方法是洛必达法则,具体方法如下: 定理2设，，在的空心邻域可导,， ，则其中可以是有限数也可是. 注:将改为也有相应的洛必达法则,应用上面法则时应该注意以下几点: 若不存在不能判定不存在；例如: ，但 即不存在. 必须逐一验证法则的条件,例如,下面运算是错误的： ，事实上, 这里不是型也不是型. 若还是型或型,可连续用洛必达法则,只要符合条件,一直可用到求出极限为止. 其他类型的未定式(等)先化成或再用洛必达法则. 使用洛必达法则也要用到一些技巧,如变更换,等价无穷小因子的替换,有确定极限的因子应先求出等.如果是型的,由于,，于是这种无穷小等价因子替换时可以简化计算.. 例5 求. 分析：这是型,若直接用法则求较繁,这里先分离出非未定因子,再用等价无穷小替换,即: ,最后用法则求解. 解: . 例6 . 解:因为故该极限是型,先写成型并利用等价无穷小替换求出极限. 原式=. 例7 求. 解:这是型的极限,可先化成的形式,然后再用洛必达法则,由于, . 因为，因此,原式. 评注:.若用这个等式无穷小因子替换,可以简化计算： 问题4：利用函数的连续性求极限的具体内容是什么？其中的注意事项有哪些？请举例说明。 答：利用函数的连续性求极限. 1:设在处连续,则,因此对连续函数求极限就是用代入法求函数的值. 2.一切初等函数在它的定义域上连续,因此,若是初等函数,属于它的定义域,则 . 3.设,若补充定义,则在连续,若又有处连续,则复合函数的连续性得: . 注：可用此结论证明幂指数极限运算法则，如下例题， 例8：设, ,求证：. 证明：. 问题5：如何利用变量替换求极限？请举例说明。 答：通过变量替换，把求某个极限转换为求另一个极限，若后者是已知的，则问题就解决了。 1、，，，（若把改为或，上述结论仍成立）. 2，设在连续，则. 例9 求证：（为整数） 证明：这是型的，当为整数时，使则 原式 当为负整数时设(为正整数)，则 原式= 详注：（此题用等价无穷小替换更方便）即 例10 . 解：令，则 例11 设，求之值. 解：令，则，且当时，于是 由，得=. 问题6：如何利用函数极限求数列极限？请举例说明。 答：若，则对。有，由这一结论，可以得到一个求数列极限的方法；若可以看成某函数在一串上的值：，其中时，又知，则知. 特别的，若，，则. 其他极限过程也有类似的方法 例12 求. 解：令则，因此 . 问题7：如何利用导数定义求极限？请举例说明。 答：解题思路：设存在，若所求极限可化为类型，则按导数定义即是，由序列极限与函数极限的关系又可得. 例13 求极限：为常数. 解：这是型不定式，可化为型的极限，即 =. 然后把序列极限转化为求函数极限，令=，则 == =. 例14 设，则. 分析：补充定