一维抛物线偏微分方程数值解法()(附图及matlab程序).docVIP

一维抛物线偏微分方程数值解法（3） 上一篇参看 一维抛物线偏微分方程数值解法（2）（附图及matlab程序） 解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法） Ut-Uxx=0, 0x1,0t=1（Ut-aUxx=f(x,t),a0) U(x,0)=e^x, 0=x=1, U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t), 0t=1 精确解为：U(x,t)=e^(x+t); 此种方法精度为o(h1^2+h2^2) 一：用追赶法解线性方程组（还可以用迭代法解） Matlab程序 function [u p e x t]=CN(h1,h2,m,n) %Crank-Nicolson格式差分法解一维抛物线型偏微分方程 %此程序用的是追赶法解线性方程组 %h1为空间步长，h2为时间步长 %m,n分别为空间，时间网格数 %p为精确解，u为数值解,e为误差 x=(0:m)*h1+0; x0=(0:m)*h1; %定义x0,t0是为了f(x,t)~=0的情况% t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2; syms f; for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) f(i,j)=0; %f(i,j)=f(x0(j),t0(i))==0% end end for(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i)); u(i,m+1)=exp(1+t(i)); end for(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i)); end r=h2/(h1*h1); for(i=1:n) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% a(1)=0;b(1)=1+r;c(1)=-r/2;d(1)=r/2*(u(i+1,1)+u(i,1))+h2*f(i,j)... +(1-r)*u(i,2)+r/2*u(i,3); for(k=2:m-2) a(k)=-r/2;b(k)=1+r;c(k)=-r/2;d(k)=h2*f(i,j)+r/2*u(i,k)+(1-r)... *u(i,k+1)+r/2*u(i,k+2); %输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入% end a(m-1)=-r/2;b(m-1)=1+r;d(m-1)=h2*f(i,j)+r/2*(u(i,m+1)+u(i+1,m+1)... )+r/2*u(i,m-1)+(1-r)*u(i,m); for(k=1:m-2) %开始解线性方程组 消元过程 a(k+1)=-a(k+1)/b(k); b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k); d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k); end u(i+1,m)=d(m-1)/b(m-1); %回代过程% for(k=m-2:-1:1) u(i+1,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i+1,k+2))/b(k); end end for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i)); %p为精确解 e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差 end end [u p e x t]=CN(0.1,0.005,10,200);surf(x,t,e); shading interp; xlabel(x);ylabel(t);zlabel(e); title(误差曲面) plot(x,e) plot(t,e) 误差较向前欧拉法减小一半 但是运行时间较长，约39秒,而前两次运行只需l秒左右； [u p e x t]=CN(0.01,0.01,100,100);运行需三分钟左右,误差比前次提高五倍,运算量也提高五倍 [u p e x t]=CN(0.1,0.1,10,10);surf(x,t,e) 运行需要2秒；精度还是挺高的； [u p e x t]=CN(0.1,0.2,10,5);surf(x,t,e) 误差还可以接受 此种方法精度高，计算量较大 二：用迭代法解线性方程组： Matlab程序如下： function [u e p x t k]=CN1(h1,h2,m,n,kmax,ep) % 解抛物线型一维方程 C-N格式 （Ut-aUxx=f(x,t),a0) %用g-s(高斯-赛德尔)迭代法解 %kmax为最大迭代次数