Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系毕业论文.doc

学号：********** ***师范大学 学士学位论文 题 目 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 学 生 *** 指导教师 年 级 2009级 专 业 数学与应用数学专业 系 别 数学系 学 院 数学科学学院 *** 师 范 大 学 学士学位论文开题报告 论文题目 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 学生姓名 *** 指导教师 *** 年 级 09级07班 专 业 数学与应用数学 2012年 11 月 课题来源：教师命题 课题研究的目的和意义： 目的：了解黎曼积分和勒贝格积分在分析中的地位 意义：更好的学习积分知识 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时.勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代。 课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 本文主要概括和总结了黎曼积分和勒贝格积分在定义、积分性质、微分基本定理、本质、上的区别和联系。积分与极限换序方面的比较。得出了从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广。勒贝格积分的创立使数学进入了现代分析时代。 课题研究起止时间和进度安排： 2012年12月5日，之前完成毕业论文开题报告。 2012年12月20日，搜集资料完成。 2013年2 月20日，论文初稿完成。 2013年3月20日，论文第一次校对完成。 2013年4月，完成毕业论文。 指导教师审查意见：同意开题 指导教师 （签字） 　　　　年 月 教研室（研究室）评审意见：同意开题 ____________教研室（研究室）主任 （签字） 　　　　年 月 院（系）审查意见：同意开题 ____________院（系）主任 （签字） 　　　　年 月 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 摘要：Riemann积分与Lebesgue积分，这两种积分在分析数学中占有很重要的地位,它们之间既有区别又有联系，都曾在数学的发展史上发挥过巨大的作用.本文主要通过对Riemann积分和勒Lebesgue积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键字：Riemann积分 Lebesgue积分 可测集 区别 联系 积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是作为近代数学核心的Riemann积分(下文简称积分)，一种是作为现代实变函数论核心的Lebesgue积分（下文简称积分），这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别. Riemann积分的定义 设是定义在上的有界函数，任取一分点组T 将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,….作和 令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为 Lebesgue积分的定义 设是一个勒贝格可测集，，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组 记 并任取（我们约定，当时，），作和 如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作 三、Riemann积分与Lebesgue积分在定义上的比较 1、“极限式”定义的比较 1）Riemann积分的“极限式”定义　 设f(x)是定义在闭区间的有界函数，对区间的任一个分 T：，记，λ=max,任取 ζ，i=1,2,3,...,n作和，并求极限，若该极限存在，则称在上Riemann可积。 并把该极限称为在上的积分，记作 Lebesgue积分的“极限式”定义 设f(x）是定义在可测集上的有界可测函数，且mE∞,存在使.若对的任一划分D：，记，对任意，作和，并求极限,若该极限存在,则称在上是Lebesgue可积的,并把该极限称为在上的积分，记作. 由上述定义可见, R 积分的极限式定义和L积分的极限式定义的共同点是都作分划, 求和, 极限, 但R积分