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专插本高等数学例题和习题ch导数计算及应用
第二章 导数计算及应用
本章主要知识点
导数定义
复合函数求导,高阶导数,微分
隐函数,参数方程求导
导数应用
一、导数定义
函数在处导数定义为
左导数
右导数
导数 存在有限且
分段点求导必须应用定义。
两个重要变形:
1.
2. 若存在,
例2.1. 若,求
解:=
例2.2. 若求
解:=
例2.3. 求
解:
所以不存在.
例2.4.,求
解:
所以不存在。
例2.5. 求。
解: 不存在
所以 不存在
例2.6.如果,分析函数在x=0处的连续性。
解:
所以 f(x)在x=0处不连续。
二、复合函数求导、高阶导数、微分
1.复合函数中的层次关系识别
正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。
例2.7.
由外及里分为四层:
例2.8.
分为一层:
例2.9.
分为三层:立方
例2.10.
分为四层:
化分清层次的同时,要注意每一层符号下的变量是什么,不可混淆。
2、复合函数的求导原则
我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”:
“外及里;号变号;则用则;层间乘”。
例2.11.,求,
解:
例2.12.,求;
解:
例2.13.,求;
解:
例2.14.,求
解:
分段函数求导时,要切记对于分段点的导数要用定义。
例2.15.,求
解:
,
综合得,。
例2.16. ,求
解:
,
所以不存在。
例2.17. 已知,
(1)求;(2)研究在处的连续性。
解:(1),
。
(2)
,不存在,
故在处不连续,且为II类间断。
3. 高阶导数与微分
(1)高阶导数
,
几个常用公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)莱伯尼兹公式
例2.18. ,求
解:
例2.19. ,求
解:
例2.20.,求
解:
例2.21. ,求
解:
例2.22.,求
解:
例2.23.,求
解:
(2)一阶微分
定义:对于函数,如果存在常数,使得:
则称在处可微。
成立:在可导可微,且。
可作为微分求解公式。
例2.24.,求
解:
。
例2.25.,求。
解:,
例2.26.,求
解:
,
,
故,所以。
例2.27.利用微分近似计算。
解:令,
则=。
4、求导中若干特别问题
(1)奇偶函数导数
结论:奇(偶)函数的导数为偶(奇)函数。
例2.28.f(x)为奇函数,。
例2.29. f(x)为可导函数,则的导数为(偶函数)。
(2)
(3),在x=a导数最大阶数等于m+n-1.
例2.30. 导数最大阶数为(1阶)。
(4)
例2.31. 求
解:
(5)符号型求导
例2.32. ,求。
解:
三、隐函数、参数方法求导
1.隐函数求导
由方程确定的函数,隐函数求导可看成复合函数求导的特例。
例2.33.由确定隐函数,求。
解:方程两边对求导得
例2.34.由方程确定隐函数, 求.
解:
方程两边对求导,得: (*)
=,(*)式再对求导,得:
例2.35.已知由方程确定,求.
解: 将代入,得到。
方程两端对求导,得,
,。
2.参数方程求导
问题: ,求,.
求导公式: ==,=.
例2.36.已知 求,.
解:===,
===.
例2.37.已知,求,,并给出时的切线法线方程.
解: ==,==,
斜率==,,,
切线方程为。
法线斜率,法线方程为:
例2.38. 已知由确定,求。
解:将方程中分别看成为的函数,分别对求导得
解得:
=,=
所以 ==。
四、导数应用
(a)斜率和几何应用
(b)洛必达法则求极限
(c)函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线
(d)最大值,最小值与实际应用
(e)微分中值定理的应用
(f)证明不等式
1.斜率与几何应用
函数在处导数为切线斜率,即,过点的切线方程为=。法线方程为=。
例2.39.,求过的切线方程。
解:,
切线方程为=。
例2.40.过点引抛物线=的切线,求切线方程。
解:设切点为,因=,
,
切线方程为=,
因为亦在切线上,所以
=,,,
所以,切线方程为 =±。
例2.41.问函数=哪一点
上的切线与直线=成600角?
解:设切线斜率为,=,=, =,=
解得:=,==,解得:=.
2.洛必达法则
洛必达法则是导数对极限的应用,归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。
洛必达法则:若且在的邻域附近可导。如果成立则。
注:①洛必达法则处理的形式必须是未定式。对于,,等必须变形为形式。
②洛必达法则是一个充分性的法则,若不存在,则说明此方法失效。
③洛必达法则只要前提正确,可重复使用。
④一般而言,洛必达法则和
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