几种插值法的应用与比较 学年论文.doc

几种插值法的应用与比较 【摘 要 】插值法是现代数值计算要工具 ，。本文对插值法的进行了深入的探索 ．并对插值法在现代科技中的应用做了简要的说明。 【关键词 】插值法；； Interpolation Method Research and Application 【Abstract】The interpolation of modem numeical calculation is an important tool in mathematics, physics, astronomy，and other fields have ve important applications．In this paper, the application of several interpolation method conducted in-depth exploration，and the interpolation method in the application of modem science and technology in a brief statement． 【Keywords】Interpolation Method；Lagrange interpolation；Newton interpolationubic spline interpolation 1???引言? 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式次插值多项式之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点中任一点，作一n次多项式，使它在该点上取值为1，而在其余点上取值为零，即 上式表明个点都是次多项式的零点，故可设 其中，为待定系数。由条件立即可得 故 由上式可以写出个次插值多项式。我们称它们为在个节点上的次基本插值多项式或次插值基函数。 利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的次插值多项式 根据条件，容易验证上面多项式在节点处的值为，因此，它就是待求的次插值多项式。 形如的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为，即 例2.1.1假设有某个多项式函数，已知它在三个点上的取值为： ， ， ， 要求的值. 首先写出每个拉格朗日基本多项式： ； ； ； 然后应用拉格朗日插值法，就可以得到的表达式（为函数的插值函数）： ， 此时数值就可以求出所需之值：. 2.2 拉格朗日插值法优点与缺点 拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析和简单应用中十分方便，然而，当插值点增加或减少一个时，原来的差值多项式不能利用，需要重新建立，于是整个公式都会变化，非常繁琐。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但却可能和实际值有很大的偏差.这时我们只能分段用较低次数的插值多项式. 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 cosx 1.0 0.980067 0.92106 0.82534 0.69671 0.54030 利用牛顿插值法计算cos(0.3)的近似值。 利用牛顿插值法计算过程如下： 解：差商表3-1中各阶差商：A（k）=f 表3-1 f（x0） 1.0 -0.099665 -0.4884125 0 0-0.003854167 -0.001215278 牛顿插值多项式 = 差值计算（表3-2） 表3-2 n 1 0.9701005 2 0.9554481 3 0.955301 4 0.9553352 5 0.9553370 6 0.9553366 真值 估计误差， 3.2牛顿插值法与拉格朗日插值法的比较