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《高等数学》知识在物理学中的应用举例 一 导数与微分的应用 分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。 例1 如图，曲柄以均匀角速度饶定点转动.此曲柄借连杆使滑块沿直线运动.求连杆上点的轨道方程及速度.设 解 1) 如图，点的坐标为： ， (1) (2) 由三角形的正弦定理，有 B 故得 (3) 由(1)得 (4) 由得 化简整理,得点的轨道方程为: 2) 要求点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 其中 又因为 对该式两边分别求导,得 所以点的速度 例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为式中及为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程. 解: 由题设及加速度的微分形式,有 对等式两边同时积分 得: 其中为常数. 由初始条件:得于是 又因为得 对等式两边同时积分,可得: 例3 宽度为的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为 一小船以相对速度沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。 解 以一岸边为轴，垂直岸的方向为轴，如图建立坐标系。 所以水流速度为 由河流中心处水流速度为，故，所以. 当时，，即 (1) 得. 两边积分，有 , (2) 由(1)-(2)，得 . (3) 同理，当时，，即 ， ， (4) 其中为一常数。由(3)知，当时，，代入(4)，得，于是 . 所以船的轨迹为 船在对岸的靠拢地点，即时有 例4 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即 如上掷时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为 解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为： 上升： 。 。 下降： 上升时 下降时 对上升的阶段：，即 于是. 两边积分， 得质点到达的高度 . (1) 对下降的阶段：即得,得. (2) 由(1)=(2) 得 二 积分的应用 分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。 例6 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为，式中为对角线的长度。 解：建立坐标系，设为立方体的中心，轴分别与立方体的边平行。由对称性知，轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为 由以上所设，平行于轴的一小方条的体积为，于是立方体饶的转动惯量为 根据对称性得： 易知立方体的对角线与轴的夹角都为且故立方体饶对角线的转动惯量为 (1) 又由于 ,