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2013高考数学备考训练-基本不等式 一、选择题 1．下列不等式证明过程正确的是(　　) A．若a，bR，则＋≥2＝2 B．若x0，y0，则lgx＋lgy≥2 C．若x0，则x＋≥－2＝－4 D．若x0，则2x＋2－x2＝2 答案　D 解析　x0，2x∈(0,1)，2－x1 2x＋2－x2＝2 D正确 而A、B首先不满足“一正”，C应当为“≤” 2．函数y＝log2(x＋＋5)(x1)的最小值为(　　) A．－3　　　　　　　　　　B．3 C．4 D．－4 答案　B 解析　x＋＋5＝(x－1)＋＋6 ≥2＋6 ＝2＋6＝8 当且仅当x－1＝即x＝2时取“＝”号 y＝log2(x＋＋5)≥log28＝3 3．若a，bR＋，a＋b＝2，则＋的最小值等于(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 答案　C 解析　a，bR＋，a＋b＝2，＋＝＝≥＝2. 4．(09·天津)设a0，b0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．8 B．4 C．1 D. 答案　B 解析　由题有()2＝3a·3ba＋b＝1，又a0，b0，＋＝(＋)(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，＋的最小值为4. 5．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　令p：“a＝”　q：“对任意的正数x,2x＋≥1” 若p成立，则a＝，则2x＋＝2x＋≥2＝1，即q成立，pq； 若q成立，则2x2－x＋a≥0恒成立，解得a≥，q?/ p. ∴p是q的充分不必要条件． 6．(2011·皖南八校)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(xR)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案　A 解析　f(x)＝ax2＋2x＋c的值域为[0，＋∞)， 则由Δ＝0，a0得c＝， ＋＝＋＝a2＋a＋＋ ＝(a2＋)＋(a＋)≥4(当且仅当a＝即a＝1时取等号)． 7．(2010·四川卷，文)设ab0，则a2＋＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　a2＋＋＝a2＋≥a2＋≥4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时“＝”都成立，故原式最小值为4，选D. 8．(2011·深圳第一次调研)已知所有的点An(n，an)(nN*)都在函数y＝ax(a0，a≠1)的图象上，则a3＋a7与2a5的大小关系是(　　) A．a3＋a72a5 B．a3＋a72a5 C．a3＋a7＝2a5 D．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关 答案　A 解析　因为所有的点An(n，an)(nN*)都在函数y＝ax(a0，a≠1)的图象上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得：a3＋a72＝2a5(因为a0，a≠1，从而等号不成立)，又2a5＝2a5，故选A. 二、填空题 9．已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则xy的最大值为__________． 答案　 解析　2xy≤()2＝，xy≤ (当且仅当2x＝y即x＝，y＝时取“＝”号．) xy的最大值为. 10．设x＞0，y＞0，且(x－1)(y－1)≥2，则xy的取值范围为__________． 答案　[3＋2，＋∞) 解析　(x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1 ≤xy－2＋1 又(x－1)(y－1)≥2，即xy－2＋1≥2 ≥＋1，xy≥3＋2 11．若a0，b0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________． 答案　 解析　ab≤()2＝ 当且仅当a＝b＝时取等号 y＝x＋在x(0，]上为减函数． ab＋的最小值为＋4＝ 12．若x，yR，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值________． 答案　18 解析　3x＋9y≥2＝2· ＝2·＝18 三、解答题 13．已知a、b、c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3，求使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围． 答案　0c≤25 解析　因为a、b都是正实数，log9(9a＋b)＝log3，所以log3(9a＋b)＝log3(ab)，故9a＋b＝ab，故＋＝1，所以4a＋b＝(4a＋b)(＋)＝13＋＋≥13＋2＝25，即4a＋b≥25，当且仅当＝，即b＝6a时等号成立．而c0，所以要使4a＋b≥c恒成立，c的取值范围为0c≤25. 14．求函数y＝(x－1)的最小值． 解析　x－1，x＋10. y＝＝ ＝(x＋1)＋＋5≥2 ＋5＝9. 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． 当x＝1时，函数y＝(x－1)的最小值为9. 15．某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何