函数的单调性(理).docVIP

§2.4.函数的单调性 知识要点梳理 1函数单调性的定义：.对于函数的定义域I内某个区间上自变量的任意两个值。⑴若当时，都有,则说在这个区间上是增函数； ⑵若当时，都有 ,则说在这个区间上是减函数. 2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2　证明函数单调性的一般方法: ①定义法 用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性. ②用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则 在A内为增函数；在A内为减函数 3　求单调区间的方法：定义法、导数法、图像法 4．复合函数在公共定义域上的单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 疑难点、易错点剖析 1.在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意： 一是先求定义域，单调区间是定义域的子集。 如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）； 二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”； 三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． 四要注意函数单调性与奇偶性的逆用。（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：） 2.确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。 如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：）)； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为. 如（1）若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)； （2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）； （3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且）)； ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。 如函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。 3 一些有用的结论： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数； 增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数 直击考点 考点一. 函数单调性的证明 例1．判断并证明函数的单调性 解：在R上是增函数.证明如下：设则 ∵ ∴ ，, ∴即 （注：关键的判断） ∴在R上是增函数. 锦囊妙计：本题用的是定义法，注意按定义法的步骤进行：取值――作差――变形――定号。考例2.设，是上的偶函数。 （1）求的值；（2）证明在上为增函数。 解：（1）依题意，对一切，有，即 ∴对一切成立，则，∴， ∵，∴。 （2）解法一：(定义法)设，则 ， 由，得，， ∴， 即，∴在上为增函数。 解法二：（导数法）∵， ∴ ∴在上为增函数。 举一反三：讨论函数在(0,+)上的单调性. 证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且， 则－=－（）=, 由,∈(0,+ )，得，， (1)当时， 于是－0,即 ∴在(0,上是减函数. (2)当时， 于是－0,即 ∴在上是增函数. 考点二 复合函数的单调区间的确定 考例3.（1）求函数的单调区间； （2）已知若，试确定的单调区间和单调性。 解：（1）函数由函数与复合而成，由解得，因外函数在上单调递减，内函数在上递减，在上递增，由复合函数单调性规律可得所求复合函数的单调减区间为：单调增区间为。 （2）， ， 令 ，得或， 令 ，或 ∴单调增区间为；单调减区间为 锦囊妙计：（1）在求函数的单调区间时，勿忘先求定义域，单调区间一定是定义域的子区间。 （2）当函数是高次多项式时，用导数法求单调区间更快捷。(3)这里不能用“”将两个递增（减）区间“并”在一起，必须用逗号隔开。 举一反三: 若函数f(x)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 考点三 复