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基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟 ―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告 物电05级1A班 张丹伟 20050003101 摘要：本文利用数学软件MATLAB对Lorenz系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。 关键词：混沌； 微分方程； MATLAB； 引言． 混沌探秘 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无则的、类随机的运动。, 若满足当 时, 轨迹, 则称为不动点。 6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对s邻域的几乎任意一点, 当时所有轨迹线均趋于s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统 , 当时,若存在 , 则称该系统有周期解 。不动点可以看作是周期为1的解, 因为它满足。 10. 初值敏感性：对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征，也有人用它来定义混沌：混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。敏感依赖性的一个严重后果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。 MATLAB中的龙格—库塔（Runge-Kutta）实现 MATLAB（Matrix Laboratory）是MathWorks公司开发的，目前国际上最流行应用最广的科学与工程计算机软件之一。MATLAB 软件以矩阵运算为基础，把计算，可视化，程序设计等有机的融合在一起，具有出色的数值计算能力和强大的图形处理功能。 基于Runge—Kutta法，MATLAB提供了求解微分方程数值解的函数，一般调用格式是： 其中fname 是定义的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。Tspan形式是[t0,tf]，表示求解区间，y0是初始状态向量。这两个函数分别采用“二阶，三阶Runge—Kutta法”和“四阶，五阶Runge—Kutta法”，并采用自适应的求解方法，即当解的变化较慢时采用较大的步长，从而使计算速度很快，当解的变化较快时步长会自动变小长，从而使计算精度很高。在MATLAB中，一般选取四阶的龙格库塔方法。 Lorenz 混沌系统 美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）于1963年在大气科学杂志上提出第一个表现奇异吸引子的动力学系统。该混沌系统模型可以用下列微分方程组描述： 利用MATLAB数学软件对上面微分方程求解，进行数值模拟。首先建立M－文件 Lorenz.m定义脚本函数，然后编程调用，其中x（1）表示x，x（2）表示y，x（3）表示z ，程序如下： function r=lorenz(t,x) global a; global b; global c; r=[-c*(x(1)-x(2));a*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);b*(x(1)*x(2)-x(3))]; clear; global a; global b; global c; b=8/3;c=10; t0=[0,100];f0=[1,1,1]； for a=10:30 [t,x]=ode45(@lorenz,t0,f0); a subplot(3,1,1); plot(t,x(:,1),r,t,x(:,2),g,t,x(:,3),b); title(Lorenz 模型变量时域响应);legend(x,y,z); xlabel(t); subplot(3,1,2); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));