§2函数的幂级数展开.PDF

第十四章 幂级数 §2 函数的幂级数展开 《数学分析》电子教案 §2 函数的幂级数展开 【 】 【 】 【【教学目的】】掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开．熟记一些初等 函数的幂级数展开式. 【教学重点】泰勒级数的定义和结构，初等级数展开的一般方法。 【教学难点】初等级数展开的方法。 一 泰勒级数 在第六章我们学习了泰勒定理：若 在 的某邻域内存在直至n+1 阶的连续导数，则 f(x) x0 n (k) f (x ) k f(x) = ∑ 0 (x− x ) + R(x) ， 0 n k=0 k! 其中R (x) 为拉格朗日余项。 n 现在我们要问，若 在 的某邻域内存在任意阶的连续导数，我们总可以写出级数 f(x) x0 ∞ (n) f (x ) n ∑ 0 (x− x ) （称为 f(x) 在x 的泰勒级数） 0 0 n=0 n! 这个幂级数是否收敛，若收敛，其和函数是什么？是否就是 f(x) ？这就是本节所要讨论的 问题. 先看一个例子. 1 ⎧ − 2 ⎪ x 1 e , x≠ 0 1 例 11 由于函数 f(x) = ⎨ 在x=0 处任何阶导数都等于0，即 ⎪0, x= 0 ⎩ (n) f (0) = 0, n=1, 2,…， 所以 在x=0 的泰勒级数为 f 0 0 2 0 n 0 + x+ x +…+ x + … 1! 2! n! 显然它在（-∞，+∞）上收敛，且和函数S(x) = 0 。由此可以看到，对一切 x≠ 0都有 f(x) ≠ S(x) 。 这个例子说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身.下面 定理指出：具备什么条件的函数 ，它的泰勒级数才能收敛于 本身. f f 14.11 14.11 定理1144..1111 设 在 存在任意阶的导数，那么 在区间 内等于 f(x) x f(x) (x − r, x + r) 0 0