第四章多分辨分析与小波构造4.1多分辨分析的概念与性质.PDF

第四章 多分辨分析与小波构造 4.1 多分辨分析的概念与性质 为了改变信号的分辨率使得人们可以根据特定的目标处理相关的细节，1983 年，P.J.Burt 与E.A.Adelson 在计算机视觉的应用中引进了一个能够处理低分辨率图像，同时根据需要进 一步提高图像分辨率的多分辨率Laplace 塔式算法（pyramidal algorithm ），该算法的基本思 想是：将原始图像F (x , y ) 看作在分辨率为20 1下的近似H 0 F ，该近似进一步分解为一 个粗分辨率2J (J 0) 下的近似H F 以及一系列高分辨率2j (j J ) 下的细节D F 渐进 J j 逼近之和。 例如，考虑将一幅尺寸为2048 ×2048 的数字图像生成为 11 幅尺度不同的附加图像。 每一次只要对像素块作2 ×2 平均，并在平均过程中舍弃隔行隔列的像素，则得到 1024×1024,512 ×512,256 ×256 等一直到1×1的图像。然后对每一幅图像实现某种边缘检 测，则在原始图像上得到小边缘，随着分解图像尺寸的变小，对应像素图像上的边缘会变得 越来越大。而P.J.Burt 与E.A.Adelson 在图像编码过程中进一步引入的基于高斯函数的金字 塔编码方案，基本步骤是首先对图像用高斯脉冲响应做低通滤波，滤波后的结果从原图像中 减掉，于是图像中的高频细节被保留在差值图像中，然后，对低通滤波后的图像进行间隔采 样，此时细节不会因此而丢失。该过程详细说明如下： 设T (i, j ) 为原始图像，G(i, j ) 为高斯低通滤波器脉冲响应。在编码过程的每一步中， 0 图像被分解为半分辨率的低频分量和整分辨率的高频分量。设T (i, j ) 和X (i, j ) 分别是第 1 1 一步中的这两个分量： T (i, j ) [T ∗G](2i,2j ) （4.1 ） 1 0 和 X (i, j ) T (i, j ) −[T ∗G](i, j ) （4.2 ） 1 0 0 上述过程在间隔抽样后的图像中迭代进行。设原始图像尺寸为N ×N ，其中N 2n 为2 的 幂次，则进行n 次迭代以后T (i, j ) 变成一个点。因此由一组不同分辨率的图像T (i, j ) 和最 n k 终的低频图像T (i, j ) 组成一个编码图金字塔，此过程如下图所示。 n 图像解码则以相反的次序来进行，该过程从最后一幅T (i, j ) 开始，对每一幅图像 n T (i, j ) 进行增频采样并与G(i, j ) 进行卷积内插，其中增频采样是在采样点之间插入零的过 k 程，此过程可以准确无误地重建出原始图像。 每个T (i, j ) 都为单宽度和双宽度的高斯核对一幅图像进行卷积后所得两幅图像之间 k 的差值，从数值上看，它等于两个高斯和的差来卷积图像。由于逐级分解过程类似于金字塔 形，因此人们常称之为拉普拉斯金字塔编码算法。 通过简单的数学计算知道，拉普拉斯金字塔算法将表示图像所需的像素增加了约33%， 但从另一方面来看，由于T (i, j ) 在很大程度上是降低像素相关性以及动态范围得到的，因 k 此可以使用较粗的量化等级甚至