杜芬方程的倍周期分岔.PPT

* 第三章 走向混沌的道路 一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。 1．平方映射的倍周期分岔道路 2．费根鲍姆常数 3．杜芬方程的倍周期分岔 第一节 由倍周期分岔走向混沌 1. 倍周期分岔道路 对平方映射的计算表明，随着参数μ的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。但倍周期分岔在一临界点μc =3.5699…时终止。此后，每次迭代得到的值是随机地出现的。 μ=3.7时，每次迭代计算得到的 xn 值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下去，迭代值偶尔出现先前得到过某个迭代值点附近，但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。 临界点以上的迭代计算 平方映射的分岔图 平方映射的分岔序列： 分岔是在μ=1处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动，出现一次霍夫分岔；随后在μ＝3处开始了倍周期分岔： 3.000 μ 3.4495 ， 二周期循环 ； 3.4496 μ 3.5441 ， 四周期循环 ； 3.5441 μ 3.5644 ， 八周期循环 ； 3.5644 μ 3.5688 ， 十六周期循环 ……... 如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，直到μ=μc为止。此后迭代得到的值随机地出现，进入混沌。 1.倍周期分岔道路 倍周期分岔李氏指数 当μ=μc以后，映射迭代的终态值已无周期，进入了混沌状态。进入混沌后，从图象的深浅程度上仍可区分出不同的区域，说明混沌不是混乱一片，而存在着一定层次； 倍周期分岔序列与李氏指数密切关联。在μ=μc后，指数λ便转为正值，但在混沌区的各个窗口中指数值λ又转为负值，即这里仍是规则运动。展现一幅规则―随机―规则―随机…交织起来的丰富多彩的图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次的运动形态。 1.倍周期分岔道路 费根鲍姆常数 七十年代初,在梅（R.May）发现了平方映射的异常复杂的特性后。年轻的费根鲍姆(M.Feigenbum)用一台普通计算器进行计算。在计算中他注意到数学家斯梅尔(S.Smale)指出过的非线性系统由周期运动变到混沌的转变区域遗留着一些尚未解决的问题。他每算一次记录一次结果，发现每次分岔的μ值之间的间隔越来越小。他将各个前后间隔相除，发现平方映射是以恒定的速率接近临界值μc。 混沌 … 周期16轨道 周期8轨道 周期4轨道 周期2轨道 周期1轨道 0 xn+1 3.5699 … 3.5644～3.5688 3.5441～3.5644 3.4995～3.5441 3 ～ 3.4995 1 ～ 3 1 m 2．费根鲍姆常数 设μn为第n 次分岔的μ值，则相继两次分岔的间隔之比δ趋于一个常数，被称为费根鲍姆第一常数。 此外，他发现2n周期分岔的超稳定点之间的距离dn 之比也趋于一个常数：α，称为费根鲍姆第二常数。 费根鲍姆常数 2．费根鲍姆常数 研究发现，对于所有在[0，1]区间内的单峰光滑映射，如正弦映射、圆与椭圆映射等，都可计算得同样常数。而且许多包含耗散的非线性系统，只要发生倍周期分岔也会有同样的常数。 两个费根鲍姆常数 d 与 a 都反映了非线性系统沿倍周期分岔系列通向混沌过程所具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数具有普遍意义。 大自然中存在一些普适常数，例如长度与直径之比的圆周率，反映物理量随时间衰变的自然对数e，反映物质微观量度的普朗克常数h，真空中光速c等，但普适常数为数不太，它们代表了大自然运动所遵循的某些规律。 费根鲍姆常数发现说明在对自然规律的认识上又前进一步，它的所包含的意义还有待进一步去发掘。 费根鲍姆常数的意义 2．费根鲍姆常数 杜芬方程的倍周期分岔 倍周期分岔不仅在平方映射中存在，利布沙伯的液氦证明，在真实的物理学系统中，如LCR振荡、激光振荡等许多系统中都存在，这里分析一下受驱杜芬方程中的分岔现象。一个软弹簧系统杜芬方程可以写成： 曾经分析过受驱杜芬方程的幅频特性是倾倒的。并且在 nw 时有个多值共振区。它的倍周期分岔与混沌也发生在这里。 倾倒的 幅频特性 3．杜芬方程的倍周期分岔 杜芬方程： 设γ=0.4,κ=1,ζ=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率n。 计算表明，在n ≥0.8时，杜芬方程的解是反对称的极限环，极限环呈椭圆形状； 当n 0.8时，极限环的